Um prisma pentagonal regular tem
de altura, sendo
a medida da aresta da base. Calcule a área lateral, área total e o volume deste prisma.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
- Dado: prisma pentagonal regular com altura
. - Dado: medida da aresta da base (lado do pentágono regular)
. - Pedido 1: área lateral do prisma.
- Pedido 2: área total do prisma.
- Pedido 3: volume do prisma.
Informações que vamos precisar (apenas listadas aqui; não vou resolver ainda): perímetro da base, apótema do pentágono regular, área da base, fórmula da área lateral, fórmula da área total e fórmula do volume.
Passo 2
Definamos algumas quantidades básicas e calculemos o perímetro da base (é direto): o pentágono regular tem
lados todos iguais a
. Portanto o perímetro
é
Explicação didática: perímetro é a soma das medidas dos lados da base; como o pentágono é regular, basta multiplicar o número de lados pelo comprimento de um lado.
Passo 3
A área lateral
de um prisma é dada pela fórmula
onde
é o perímetro da base e
é a altura do prisma. Aqui
e
. Logo
Comentário prático: visualize o prisma “desdobrado” — a área lateral é um retângulo de base igual ao perímetro da base do prisma e altura igual à altura do prisma.
Passo 4
Agora precisamos da área da base (o pentágono regular). A maneira mais prática é calcular o apótema
do pentágono e usar
Para um polígono regular de
lados de comprimento
, o apótema é
No nosso caso
e
. Então
Explicação didática: o apótema é a distância do centro do polígono até o ponto médio de um lado; é usado porque a área do polígono regular pode ser vista como soma de
triângulos isósceles com base
e altura
.
Passo 5
Calculemos numericamente o apótema. Primeiro lembramos que
em graus é
, então usamos
. Numericalmente
Portanto
Observação: calculei o inverso de
(ou seja, usei
) para dar um número direto; se preferir, pode dividir
por
.
Passo 6
Agora encontramos a área da base usando
. Substituindo
e o apótema calculado:
Explicação didática: cada um dos 5 triângulos que formam o pentágono tem área
; somando os 5 dá
.
Passo 7
Com a área da base conhecida, a área total
do prisma é
Substituindo os valores:
Comentário prático: área total é soma da área lateral com as duas bases.
Passo 8
O volume
do prisma é dado por
Usando
e
,
Explicação didática: volume de um prisma é área da base vezes altura (pense em empilhar camadas iguais de área da base até a altura).
Passo 9
Arredondando os resultados a quatro casas decimais (opcional, conforme necessidade da prova) obtemos:
-
(valor exato). -
. -
. -
.