Um prisma pentagonal regular tem 8 c m de altura, sendo 7 c m a medida da aresta da base. Calcule a área lateral, área total e o volume deste prisma.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
  • Dado: prisma pentagonal regular com altura 8\\ \text{cm}.
  • Dado: medida da aresta da base (lado do pentágono regular) 7\\ \text{cm}.
  • Pedido 1: área lateral do prisma.
  • Pedido 2: área total do prisma.
  • Pedido 3: volume do prisma.
Informações que vamos precisar (apenas listadas aqui; não vou resolver ainda): perímetro da base, apótema do pentágono regular, área da base, fórmula da área lateral, fórmula da área total e fórmula do volume.

Passo 2

Definamos algumas quantidades básicas e calculemos o perímetro da base (é direto): o pentágono regular tem 5 lados todos iguais a 7\\ \text{cm}. Portanto o perímetro P é
P = 5\cdot 7 = 35\\ \text{cm}.
Explicação didática: perímetro é a soma das medidas dos lados da base; como o pentágono é regular, basta multiplicar o número de lados pelo comprimento de um lado.

Passo 3

A área lateral A_L de um prisma é dada pela fórmula
A_L = P\cdot h,
onde P é o perímetro da base e h é a altura do prisma. Aqui P=35\\ \text{cm} e h=8\\ \text{cm}. Logo
A_L = 35\cdot 8 = 280\\ \text{cm}^2.
Comentário prático: visualize o prisma “desdobrado” — a área lateral é um retângulo de base igual ao perímetro da base do prisma e altura igual à altura do prisma.

Passo 4

Agora precisamos da área da base (o pentágono regular). A maneira mais prática é calcular o apótema a_p do pentágono e usar
A_{\text{base}} = \frac{P\cdot a_p}{2}.
Para um polígono regular de n lados de comprimento s, o apótema é
a_p = \frac{s}{2\tan\!\bigl(\pi/n\bigr)}.
No nosso caso n=5 e s=7. Então
a_p = \frac{7}{2\tan\!\bigl(\pi/5\bigr)}.
Explicação didática: o apótema é a distância do centro do polígono até o ponto médio de um lado; é usado porque a área do polígono regular pode ser vista como soma de n triângulos isósceles com base s e altura a_p.

Passo 5

Calculemos numericamente o apótema. Primeiro lembramos que \pi/5 em graus é 36^\circ, então usamos \tan(\pi/5)=\tan(36^\circ). Numericalmente
\tan\!\bigl(\pi/5\bigr)\approx 0,7265425280.
Portanto
a_p = \frac{7}{2\cdot 0,7265425280} \approx 3{,}5\cdot\frac{1}{0{,}7265425280}\approx 3{,}5\cdot 1{,}3763819205 \approx 4{,}8173367216\\ \text{cm}.
Observação: calculei o inverso de \tan (ou seja, usei \cot) para dar um número direto; se preferir, pode dividir 7 por 2\times 0{,}7265425280.

Passo 6

Agora encontramos a área da base usando A_{\text{base}}=\dfrac{P\cdot a_p}{2}. Substituindo P=35\\ \text{cm} e o apótema calculado:
A_{\text{base}} = \frac{35\cdot 4{,}8173367216}{2} = \frac{168{,}606785256}{2} \approx 84{,}3033926289\\ \text{cm}^2.
Explicação didática: cada um dos 5 triângulos que formam o pentágono tem área \frac{s\cdot a_p}{2}; somando os 5 dá \frac{P\cdot a_p}{2}.

Passo 7

Com a área da base conhecida, a área total A_T do prisma é
A_T = A_L + 2\cdot A_{\text{base}}.
Substituindo os valores:
A_T = 280 + 2\cdot 84{,}3033926289 \approx 280 + 168{,}6067852578 \approx 448{,}6067852578\\ \text{cm}^2.
Comentário prático: área total é soma da área lateral com as duas bases.

Passo 8

O volume V do prisma é dado por
V = A_{\text{base}}\cdot h.
Usando A_{\text{base}}\approx 84{,}3033926289\\ \text{cm}^2 e h=8\\ \text{cm},
V \approx 84{,}3033926289\cdot 8 \approx 674{,}4271410312\\ \text{cm}^3.
Explicação didática: volume de um prisma é área da base vezes altura (pense em empilhar camadas iguais de área da base até a altura).

Passo 9

Arredondando os resultados a quatro casas decimais (opcional, conforme necessidade da prova) obtemos:
  • A_L = 280\\ \text{cm}^2 (valor exato).
  • A_{\text{base}} \approx 84{,}3034\\ \text{cm}^2.
  • A_T \approx 448{,}6068\\ \text{cm}^2.
  • V \approx 674{,}4271\\ \text{cm}^3.

Resposta

A_L = 280\\ \text{cm}^2
A_T \approx 448{,}6068\\ \text{cm}^2
V \approx 674{,}4271\\ \text{cm}^3

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