Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico
9 x^{2}+4 y^{2}+36 z=36
e acima do retângulo R=[-1,1] \times[-2,2]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dá a superfície definida pela equação
9x^{2}+4y^{2}+36z=36.
  • Dá o retângulo no plano xy
R=[-1,1]\times[-2,2].
  • Pede: determinar o volume do sólido que está abaixo da superfície dada (isto é, por baixo do paraboloide elíptico) e acima do retângulo R (isto é, sobre a região R no plano xy).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As coordenadas extremas do retângulo são x\in[-1,1] e y\in[-2,2].
  • A superfície é dada implicitamente por uma equação que envolve x,y,z.

Passo 2

Isolar z para identificar a função de altura sobre R.
Começando da equação dada,
9x^{2}+4y^{2}+36z=36,
subtrai-se 9x^{2}+4y^{2} de ambos os lados e divide-se por 36. Assim obtemos a altura z como função de x e y:
z(x,y)=\;1-\frac{9x^{2}+4y^{2}}{36}.
Simplificando as frações,
z(x,y)=1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}.
Explicação didática: isso significa que, sobre cada ponto (x,y) do retângulo R, a altura do sólido (a distância vertical até o paraboloide) é dada por essa função z(x,y).

Passo 3

Expressar o volume como integral dupla.
O volume do sólido que está abaixo da superfície z(x,y) e acima da região R é dado por
V=\iint_{R} z(x,y)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy. Intuitivamente, dividimos R em muitos retângulos pequenos de área dA; sobre cada um a altura aproximada é z(x,y), então somando z\,dA obtemos o volume. Como R é um retângulo, podemos usar a integração iterada (Teorema de Fubini) sem problema.

Passo 4

Montar a integral iterada com os limites do retângulo.
Substituindo z(x,y) na integral e usando os limites do retângulo:
V=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-2}^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}\right)\,dy\,dx.
Observação prática: a função dentro da integral é soma de termos que dependem só de x ou só de y (mais um termo constante). Isso permite separar a integral em somas de produtos de integrais mais simples, tornando o cálculo direto.

Passo 5

Calcular a integral do termo constante 1.
A integral do 1 sobre R é simplesmente a área de R. Como R tem largura 1-(-1)=2 em x e altura 2-(-2)=4 em y,
\iint_{R} 1\,dA = \text{area}(R)=2\cdot4=8.

Passo 6

Calcular a integral do termo \dfrac{x^{2}}{4}.
Como \dfrac{x^{2}}{4} não depende de y, podemos separar:
\iint_{R}\frac{x^{2}}{4}\,dA=\frac{1}{4}\left(\int_{x=-1}^{1} x^{2}\,dx\right)\left(\int_{y=-2}^{2} dy\right).
Calcular cada integral:
\int_{x=-1}^{1} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
\int_{y=-2}^{2} dy = 4.
Portanto
\iint_{R}\frac{x^{2}}{4}\,dA = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot 4 = \frac{2}{3}.

Passo 7

Calcular a integral do termo \dfrac{y^{2}}{9}.
Analogamente, \dfrac{y^{2}}{9} não depende de x, então
\iint_{R}\frac{y^{2}}{9}\,dA=\frac{1}{9}\left(\int_{y=-2}^{2} y^{2}\,dy\right)\left(\int_{x=-1}^{1} dx\right).
Calcular cada integral:
\int_{y=-2}^{2} y^{2}\,dy = 2\int_{0}^{2} y^{2}\,dy = 2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3},
\int_{x=-1}^{1} dx = 2.
Portanto
\iint_{R}\frac{y^{2}}{9}\,dA = \frac{1}{9}\cdot\frac{16}{3}\cdot 2 = \frac{32}{27}.

Passo 8

Combinar as parcelas para obter o volume.
A integral total é a contribuição do termo constante menos as duas parcelas encontradas:
V = 8 - \frac{2}{3} - \frac{32}{27}.
Colocando em denominador comum 27:
8=\frac{216}{27},\qquad \frac{2}{3}=\frac{18}{27},
logo
V=\frac{216}{27}-\frac{18}{27}-\frac{32}{27}=\frac{166}{27}.
Para ter uma ideia numérica, isso é aproximadamente 6{,}148\ldots, mas a forma fracionária é exata e preferível.

Resposta

\dfrac{166}{27}

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