Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico
e acima do retângulo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Dá a superfície definida pela equação
- Dá o retângulo no plano
- Pede: determinar o volume do sólido que está abaixo da superfície dada (isto é, por baixo do paraboloide elíptico) e acima do retângulo
(isto é, sobre a região no plano ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As coordenadas extremas do retângulo são
e . - A superfície é dada implicitamente por uma equação que envolve
.
Passo 2
Isolar
para identificar a função de altura sobre
.
Começando da equação dada,
subtrai-se
de ambos os lados e divide-se por
. Assim obtemos a altura
como função de
e
:
Simplificando as frações,
Explicação didática: isso significa que, sobre cada ponto
do retângulo
, a altura do sólido (a distância vertical até o paraboloide) é dada por essa função
.
Passo 3
Expressar o volume como integral dupla.
O volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima da região
é dado por
Aqui
é o elemento de área no plano
. Intuitivamente, dividimos
em muitos retângulos pequenos de área
; sobre cada um a altura aproximada é
, então somando
obtemos o volume. Como
é um retângulo, podemos usar a integração iterada (Teorema de Fubini) sem problema.
Passo 4
Montar a integral iterada com os limites do retângulo.
Substituindo
na integral e usando os limites do retângulo:
Observação prática: a função dentro da integral é soma de termos que dependem só de
ou só de
(mais um termo constante). Isso permite separar a integral em somas de produtos de integrais mais simples, tornando o cálculo direto.
Passo 5
Calcular a integral do termo constante
.
A integral do
sobre
é simplesmente a área de
. Como
tem largura
em
e altura
em
,
Passo 6
Calcular a integral do termo
.
Como
não depende de
, podemos separar:
Calcular cada integral:
Portanto
Passo 7
Calcular a integral do termo
.
Analogamente,
não depende de
, então
Calcular cada integral:
Portanto
Passo 8
Combinar as parcelas para obter o volume.
A integral total é a contribuição do termo constante menos as duas parcelas encontradas:
Colocando em denominador comum
:
logo
Para ter uma ideia numérica, isso é aproximadamente
, mas a forma fracionária é exata e preferível.