Calcule a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{0}^{3} e^{x+3 y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{3} e^{x+3y}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • Limites internos: y varia de 0 a 3.
  • Limites externos: x varia de 0 a 1.
  • Integrando: e^{x+3y}.
  • A ordem indicada é integrar primeiro em y (mantendo x fixo) e depois em x.

Passo 2

Regra útil: para exponenciais vale \,e^{a+b}=e^{a}e^{b}\,. Aplicando isso ao integrando:
e^{x+3y}=e^{x}\,e^{3y}.
Como a integração interna é em y, x é tratado como constante e pode ser fatorado para fora da integral em y.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{3} e^{x+3y}\,dy = e^{x}\int_{0}^{3} e^{3y}\,dy.
Fórmula que vamos usar: \displaystyle \int e^{k y}\,dy=\frac{1}{k}e^{k y}+C, porque \dfrac{d}{dy}e^{k y}=k e^{k y}. Aqui k=3, logo
\int_{0}^{3} e^{3y}\,dy=\left[\frac{1}{3}e^{3y}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{3}\bigl(e^{9}-e^{0}\bigr)=\frac{1}{3}\bigl(e^{9}-1\bigr).
Portanto a integral interna fica
\int_{0}^{3} e^{x+3y}\,dy = e^{x}\cdot\frac{1}{3}\bigl(e^{9}-1\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos a integral externa em x:
\int_{0}^{1}\left(e^{x}\cdot\frac{1}{3}\bigl(e^{9}-1\bigr)\right)dx.
O fator \dfrac{1}{3}\bigl(e^{9}-1\bigr) é constante em relação a x, então pode ser tirado da integral:
\frac{1}{3}\bigl(e^{9}-1\bigr)\int_{0}^{1} e^{x}\,dx.

Passo 5

Calcular \int_{0}^{1} e^{x}\,dx. Usando \int e^{x}\,dx=e^{x}+C, temos
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx=\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1}=e^{1}-e^{0}=e-1.
Substituindo,
\frac{1}{3}\bigl(e^{9}-1\bigr)\,(e-1).

Passo 6

Escrever de forma final e um pouco mais arrumada:
\frac{(e^{9}-1)(e-1)}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{(e^{9}-1)(e-1)}{3}

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