Calcule a integral iterada
\int_{0}^{2} \int_{0}^{1}(2 x+y)^{8} d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (2x+y)^{8}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é (2x+y)^{8}.
  • Os limites são y de 0 a 1 (integral interna) e x de 0 a 2 (integral externa).
    O objetivo é avaliar a integral dupla iterada, fazendo primeiro a integral em y (para cada x fixo) e depois integrar o resultado em x.

Passo 2

Primeiro calcule a integral interna \displaystyle \int_{0}^{1} (2x+y)^{8}\,dy tratando x como constante.
Regra que vamos usar (a base da técnica): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aqui, ao integrar em y, a expressão 2x+y é uma função afim de y. Como x é constante durante essa integração, podemos fazer a substituição simples
u = 2x+y \quad\Rightarrow\quad du = dy.
Os limites em y transformam-se em limites em u:
y=0 \mapsto u=2x,\qquad y=1 \mapsto u=2x+1.
Portanto
\int_{0}^{1} (2x+y)^{8}\,dy = \int_{u=2x}^{u=2x+1} u^{8}\,du = \left.\frac{u^{9}}{9}\right|_{2x}^{2x+1} = \frac{(2x+1)^{9} - (2x)^{9}}{9}.

Passo 3

Agora a integral iterada vira
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (2x+y)^{8}\,dy\,dx = \int_{0}^{2} \frac{(2x+1)^{9} - (2x)^{9}}{9}\,dx = \frac{1}{9}\int_{0}^{2}\bigl((2x+1)^{9} - (2x)^{9}\bigr)\,dx.
Vamos calcular separadamente as duas integrais presentes:
I_1=\int_{0}^{2}(2x+1)^{9}\,dx,\qquad I_2=\int_{0}^{2}(2x)^{9}\,dx.

Passo 4

Calcule I_1. Use substituição v=2x+1, então dv=2\,dx ou dx=\dfrac{dv}{2}.
Os limites: x=0\Rightarrow v=1, x=2\Rightarrow v=5. Assim
I_1 = \int_{1}^{5} v^{9}\cdot\frac{dv}{2} = \frac{1}{2}\left.\frac{v^{10}}{10}\right|_{1}^{5} = \frac{5^{10}-1^{10}}{20}.
Calcule I_2. Note que (2x)^{9}=2^{9}x^{9}=512\,x^{9}. Logo
I_2 = 512\int_{0}^{2} x^{9}\,dx = 512\left.\frac{x^{10}}{10}\right|_{0}^{2} = 512\cdot\frac{2^{10}}{10}.
Como 2^{10}=1024, temos
I_2 = \frac{512\cdot 1024}{10} = \frac{524{,}288}{10} = \frac{262{,}144}{5}.
(Observação: 4^{10}=1{,}048{,}576 e I_2=\dfrac{4^{10}}{20}, verificar isto é útil para simplificar mais adiante.)

Passo 5

Volte para a integral total:
\frac{1}{9}\bigl(I_1 - I_2\bigr) = \frac{1}{9}\left(\frac{5^{10}-1}{20} - \frac{262{,}144}{5}\right).
Colocando sobre denominador comum 20:
\frac{1}{9}\left(\frac{5^{10}-1 - 4^{10}}{20}\right) = \frac{1}{180}\bigl(5^{10}-1-4^{10}\bigr).
Substituindo os valores numéricos 5^{10}=9{,}765{,}625 e 4^{10}=1{,}048{,}576:
\frac{1}{180}\bigl(9{,}765{,}625 - 1 - 1{,}048{,}576\bigr) = \frac{8{,}717{,}048}{180}.
Simplificando por 4:
\frac{8{,}717{,}048}{180} = \frac{2{,}179{,}262}{45}.
Esse quociente não é divisível por 3 nem por 5, logo é a fração irredutível.

Passo 6

Se desejar a forma decimal aproximada,
\frac{2{,}179{,}262}{45} \approx 48\,428{,}044\overline{4}\times 10^{-1} = 48\,428{,}044\overline{4}\times 10^{-1}\\ \text{(interpretação decimal)}.çã
Mais simplesmente,
\frac{2{,}179{,}262}{45}\approx 48{,}428{,}044\ldots\text{(depende da formatação decimal)}.çã
Mas a forma exata e mais limpa é a fração obtida acima.

Resposta

\dfrac{2{,}179{,}262}{45}

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