Calcule a integral iterada \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}(2 x+y)^{8} d y d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (2x+y)^{8}\,dy\,dx.
Informações dadas:
A função integranda é (2x+y)^{8}.
Os limites são y de 0 a 1 (integral interna) e x de 0 a 2 (integral externa).
O objetivo é avaliar a integral dupla iterada, fazendo primeiro a integral em y (para cada x fixo) e depois integrar o resultado em x.
Passo 2
Primeiro calcule a integral interna \displaystyle \int_{0}^{1} (2x+y)^{8}\,dy tratando x como constante.
Regra que vamos usar (a base da técnica): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aqui, ao integrar em y, a expressão 2x+y é uma função afim de y. Como x é constante durante essa integração, podemos fazer a substituição simples