Determine o volume do sólido que está contido em ambas as esferas
{ }^{\mathrm{e}}
\begin{gathered} x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x-2 y+4 z+5=0 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido que está contido em ambas as esferas dadas pelas equações
x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x-2 y+4 z+5=0
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as duas equações representam esferas no espaço tridimensional. O objetivo é achar o volume da região de interseção (parte comum) entre essas duas esferas.

Passo 2

Primeiro vamos identificar centro e raio da primeira esfera completando quadrados. Começamos com
x^{2}+y^{2}+z^{2}+4x-2y+4z+5=0.
Agrupando termos por variável e completando quadrados:
x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4,
y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1,
z^{2}+4z = (z+2)^{2}-4.
Substituindo na equação original:
(x+2)^{2}-4 + (y-1)^{2}-1 + (z+2)^{2}-4 +5 = 0.
Somando as constantes: -4-1-4+5 = -4. Então
(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z+2)^{2}-4=0,
ou seja
(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z+2)^{2}=4.
Portanto a primeira esfera tem centro
C_{1}=(-2,\,1,\,-2)
e raio
r_{1}=2.

Passo 3

A segunda esfera é a mais simples:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,
que é a esfera de centro
C_{2}=(0,\,0,\,0)
e raio
r_{2}=2.
Agora calculamos a distância d entre os centros C_{1} e C_{2}. Pela fórmula da distância em \mathbb{R}^{3},
d=\sqrt{(-2-0)^{2}+(1-0)^{2}+(-2-0)^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Observação útil: como 0<d<r_{1}+r_{2}=4 e d> |r_{1}-r_{2}|=0, as esferas se intersectam formando uma região comum com duas calotas esféricas simétricas (uma em cada esfera).

Passo 4

Por r_{1}=r_{2} (as duas têm mesmo raio), a superfície de interseção (o plano que contém a circunferência de interseção) está exatamente no plano perpendicular à linha que une os centros e passando pelo ponto médio entre os centros. Assim as duas calotas que formam a interseção são congruentes e têm a mesma altura h.
A distância do centro de cada esfera até esse plano é d/2. A altura da calota em cada esfera, medida a partir do topo da esfera até o plano de corte, é
h = r - \frac{d}{2},
onde r é o raio comum. Aqui r=2 e d=3, então
h = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 5

Agora precisamos da fórmula do volume de uma calota esférica (volume de uma “tampa” de altura h em uma esfera de raio r). Vou deduzir essa fórmula por integração (é um cálculo simples e útil para a prova).
Considere uma esfera de raio r centrada na origem. Uma seção por um plano z= constante é um disco de raio \rho(z)=\sqrt{r^{2}-z^{2}}. Se a calota tem altura h, ela corresponde aos pontos com z variando de z_{0}=r-h até z=r. O volume da calota é a soma dos volumes desses discos:
V_{\text{calota}}=\pi\int_{z_{0}}^{r} \bigl(\rho(z)\bigr)^{2}\,dz =\pi\int_{r-h}^{r} \bigl(r^{2}-z^{2}\bigr)\,dz.
Agora calculamos a integral. Primeiro a primitiva:
\int \bigl(r^{2}-z^{2}\bigr)\,dz = r^{2}z - \frac{z^{3}}{3}.
Avaliando entre z=r-h e z=r:
V_{\text{calota}}=\pi\left[\left(r^{2}r-\frac{r^{3}}{3}\right)-\left(r^{2}(r-h)-\frac{(r-h)^{3}}{3}\right)\right].
Simplificando passo a passo:
V_{\text{calota}}=\pi\left(r^{3}-\frac{r^{3}}{3}-r^{2}(r-h)+\frac{(r-h)^{3}}{3}\right).
V_{\text{calota}}=\pi\left(\frac{2r^{3}}{3}-r^{3}+r^{2}h+\frac{(r-h)^{3}}{3}\right)
(ou simplesmente expandir e reorganizar). O resultado final conhecido e que se obtém simplificando é
V_{\text{calota}}=\frac{\pi h^{2}(3r-h)}{3}.
Esta é a fórmula que vamos usar. Aqui h é a altura da calota e r o raio da esfera.

Passo 6

Aplicamos a fórmula com r=2 e h=\tfrac{1}{2}. Primeiro calculemos h^{2} e 3r-h:
h^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4},
3r-h = 3\cdot 2 - \tfrac{1}{2} = 6 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{11}{2}.
Agora a calota tem volume
V_{\text{calota}}=\frac{\pi \, h^{2}(3r-h)}{3} =\frac{\pi}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{11}{2} =\frac{\pi}{3}\cdot \frac{11}{8} =\frac{11\pi}{24}.

Passo 7

A região de interseção das duas esferas é formada por duas calotas congruentes (uma em cada esfera), então o volume total da interseção é o dobro do volume de uma calota:
V_{\text{interseção}} = 2\cdot V_{\text{calota}} = 2\cdot \frac{11\pi}{24} = \frac{11\pi}{12}.çã

Resposta

\dfrac{11\pi}{12}

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