Determine o volume do sólido que está contido em ambas as esferas
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido que está contido em ambas as esferas dadas pelas equações
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as duas equações representam esferas no espaço tridimensional. O objetivo é achar o volume da região de interseção (parte comum) entre essas duas esferas.
Passo 2
Primeiro vamos identificar centro e raio da primeira esfera completando quadrados. Começamos com
Agrupando termos por variável e completando quadrados:
Substituindo na equação original:
Somando as constantes:
. Então
ou seja
Portanto a primeira esfera tem centro
e raio
Passo 3
A segunda esfera é a mais simples:
que é a esfera de centro
e raio
Agora calculamos a distância
entre os centros
e
. Pela fórmula da distância em
,
Observação útil: como
e
, as esferas se intersectam formando uma região comum com duas calotas esféricas simétricas (uma em cada esfera).
Passo 4
Por
(as duas têm mesmo raio), a superfície de interseção (o plano que contém a circunferência de interseção) está exatamente no plano perpendicular à linha que une os centros e passando pelo ponto médio entre os centros. Assim as duas calotas que formam a interseção são congruentes e têm a mesma altura
.
A distância do centro de cada esfera até esse plano é
. A altura da calota em cada esfera, medida a partir do topo da esfera até o plano de corte, é
onde
é o raio comum. Aqui
e
, então
Passo 5
Agora precisamos da fórmula do volume de uma calota esférica (volume de uma “tampa” de altura
em uma esfera de raio
). Vou deduzir essa fórmula por integração (é um cálculo simples e útil para a prova).
Considere uma esfera de raio
centrada na origem. Uma seção por um plano
constante é um disco de raio
. Se a calota tem altura
, ela corresponde aos pontos com
variando de
até
. O volume da calota é a soma dos volumes desses discos:
Agora calculamos a integral. Primeiro a primitiva:
Avaliando entre
e
:
Simplificando passo a passo:
(ou simplesmente expandir e reorganizar). O resultado final conhecido e que se obtém simplificando é
Esta é a fórmula que vamos usar. Aqui
é a altura da calota e
o raio da esfera.
Passo 6
Aplicamos a fórmula com
e
. Primeiro calculemos
e
:
Agora a calota tem volume
Passo 7
A região de interseção das duas esferas é formada por duas calotas congruentes (uma em cada esfera), então o volume total da interseção é o dobro do volume de uma calota: