Determine uma equação para o conjunto de pontos equidistantes dos pontos A(-1,5,3) e B(6,2,-2). Descreva o conjunto.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma equação que represente o conjunto de todos os pontos equidistantes dos pontos A(-1,5,3) e B(6,2,-2); (2) descrever geometricamente esse conjunto.
Informações dadas: as coordenadas de A e B são A(-1,5,3) e B(6,2,-2). Não há mais condições. A resolução começa escolhendo um ponto genérico P(x,y,z) e impondo que a distância de P a A seja igual à distância de P a B.
Passo 2
Definimos um ponto genérico P(x,y,z). A condição de equidistância é
\text{dist}(P,A)=\text{dist}(P,B).
Vou lembrar como calcular distância em 3D: a distância entre P(x,y,z) e A(x_A,y_A,z_A) é
Note que os coeficientes da equação 14x-6y-10z-9=0 são 2 vezes as componentes de \overrightarrow{AB}, ou seja (14,-6,-10)=2(7,-3,-5). Isso significa que o vetor normal da superfície dada pela equação é paralelo a \overrightarrow{AB}. Logo a superfície é um plano perpendicular ao segmento AB.
Passo 8
Para verificar que é o plano bissetor (passando pelo ponto médio), calculemos o ponto médio M de A e B:
logo M satisfaz a equação. Assim o plano passa pelo ponto médio e é perpendicular a \overrightarrow{AB}: é exatamente o plano que corta AB ao meio e é perpendicular a ele — o plano mediador perpendicular do segmento AB.
Passo 9
Resumo prático (fórmula útil que você pode usar em prova): ao pedir pontos equidistantes de A e B, escreva \text{dist}(P,A)=\text{dist}(P,B), eleve ao quadrado e simplifique; o resultado é sempre uma equação linear em x,y,z que representa o plano mediador perpendicular. Outra forma compacta é usar produto escalar: (\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{PM}=0, com M ponto médio.
Resposta
\,14x-6y-10z-9=0
Plano perpendicular ao segmento AB que passa pelo ponto médio M\bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{2}\bigr) (ou seja, o plano mediador perpendicular de AB).