Determine uma equação para o conjunto de pontos equidistantes dos pontos A(-1,5,3) e B(6,2,-2). Descreva o conjunto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma equação que represente o conjunto de todos os pontos equidistantes dos pontos A(-1,5,3) e B(6,2,-2); (2) descrever geometricamente esse conjunto.
Informações dadas: as coordenadas de A e B são A(-1,5,3) e B(6,2,-2). Não há mais condições. A resolução começa escolhendo um ponto genérico P(x,y,z) e impondo que a distância de P a A seja igual à distância de P a B.

Passo 2

Definimos um ponto genérico P(x,y,z). A condição de equidistância é
\text{dist}(P,A)=\text{dist}(P,B).
Vou lembrar como calcular distância em 3D: a distância entre P(x,y,z) e A(x_A,y_A,z_A) é
\text{dist}(P,A)=\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2}.
Aplicando isso ao nosso caso, a condição vira
\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2+(z-3)^2}=\sqrt{(x-6)^2+(y-2)^2+(z+2)^2}.

Passo 3

Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é válido porque ambas as distâncias são não negativas). Obtemos:
(x+1)^2+(y-5)^2+(z-3)^2=(x-6)^2+(y-2)^2+(z+2)^2.
Agora vou expandir cada termo com calma, mostrando as contas passo a passo.

Passo 4

Expansão do lado esquerdo:
(x+1)^2 = x^2+2x+1,
(y-5)^2 = y^2-10y+25,
(z-3)^2 = z^2-6z+9.
Somando:
(x+1)^2+(y-5)^2+(z-3)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2x -10y -6z +35.

Passo 5

Expansão do lado direito:
(x-6)^2 = x^2-12x+36,
(y-2)^2 = y^2-4y+4,
(z+2)^2 = z^2+4z+4.
Somando:
(x-6)^2+(y-2)^2+(z+2)^2 = x^2+y^2+z^2 -12x -4y +4z +44.

Passo 6

Agora igualamos as duas expressões e simplificamos cancelando x^2+y^2+z^2 dos dois lados:
2x -10y -6z +35 = -12x -4y +4z +44.
Passo os termos para o mesmo lado:
2x +12x -10y +4y -6z -4z +35 -44 = 0,
ou seja
14x -6y -10z -9 = 0.
Uma forma equivalente, um pouco mais limpa, é
14x -6y -10z = 9.

Passo 7

Interpretação vetorial e geométrica: calculemos o vetor \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(6-(-1),\,2-5,\,-2-3)=(7,-3,-5).
Note que os coeficientes da equação 14x-6y-10z-9=0 são 2 vezes as componentes de \overrightarrow{AB}, ou seja (14,-6,-10)=2(7,-3,-5). Isso significa que o vetor normal da superfície dada pela equação é paralelo a \overrightarrow{AB}. Logo a superfície é um plano perpendicular ao segmento AB.

Passo 8

Para verificar que é o plano bissetor (passando pelo ponto médio), calculemos o ponto médio M de A e B:
M\biggl(\frac{-1+6}{2},\frac{5+2}{2},\frac{3+(-2)}{2}\biggr)=\biggl(\tfrac{5}{2},\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{2}\biggr).
Substituindo M na equação 14x-6y-10z-9 temos:
14\cdot\tfrac{5}{2}-6\cdot\tfrac{7}{2}-10\cdot\tfrac{1}{2}-9=35-21-5-9=0,
logo M satisfaz a equação. Assim o plano passa pelo ponto médio e é perpendicular a \overrightarrow{AB}: é exatamente o plano que corta AB ao meio e é perpendicular a ele — o plano mediador perpendicular do segmento AB.

Passo 9

Resumo prático (fórmula útil que você pode usar em prova): ao pedir pontos equidistantes de A e B, escreva \text{dist}(P,A)=\text{dist}(P,B), eleve ao quadrado e simplifique; o resultado é sempre uma equação linear em x,y,z que representa o plano mediador perpendicular. Outra forma compacta é usar produto escalar: (\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{PM}=0, com M ponto médio.

Resposta

\,14x-6y-10z-9=0
Plano perpendicular ao segmento AB que passa pelo ponto médio M\bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{7}{2},\tfrac{1}{2}\bigr) (ou seja, o plano mediador perpendicular de AB).

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