Considere os pontos
tais que a distância de
para
seja o dobro da distância de
para
. Mostre que o conjunto desses pontos é uma esfera e determine seu raio e centro.
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de todos os pontos
tais que a distância de
até
é o dobro da distância de
até
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta a responder: mostrar que esse conjunto é uma esfera e determinar o seu centro e raio.
Passo 2
Vamos colocar coordenadas para um ponto arbitrário
. Seja
Recordando a fórmula da distância em
: a distância entre
e um ponto
é
Aqui cada termo dentro da raiz é o quadrado da diferença de coordenadas correspondentes; a raiz dá a distância euclidiana.
Passo 3
Traduzimos a condição do enunciado para uma equação com distâncias:
Podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem perigo porque as distâncias são não negativas. Ao quadrar, obtemos:
Passo 4
Agora expandimos os quadrados cuidadosamente. Primeiro o lado esquerdo:
que simplifica para
O lado direito:
que dá, ao multiplicar por
,
Passo 5
Igualando os dois lados e passando tudo para um lado obtemos
Dividindo toda a equação por
(para simplificar) vem
Esta é uma equação quadrática geral em
. Se conseguirmos escrevê-la na forma
, teremos uma esfera de centro
e raio
.
Passo 6
Vamos completar o quadrado para cada variável. Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Substituindo essas expressões na equação dividida por
obtemos
Agora somamos as constantes:
Então a equação fica
ou seja
Passo 8
A forma obtida é exatamente a equação de uma esfera com centro
e raio
. Podemos simplificar a raiz:
pois
e
é primo. Portanto o conjunto pedido é uma esfera com o centro e raio dados acima.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: