Considere os pontos P tais que a distância de P para A(-1,5,3) seja o dobro da distância de P para B(6,2,-2). Mostre que o conjunto desses pontos é uma esfera e determine seu raio e centro.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os pontos P tais que a distância de P até A(-1,5,3) é o dobro da distância de P até B(6,2,-2).
Informações dadas:
A=(-1,5,3),\qquad B=(6,2,-2).
Pergunta a responder: mostrar que esse conjunto é uma esfera e determinar o seu centro e raio.

Passo 2

Vamos colocar coordenadas para um ponto arbitrário P. Seja
P=(x,y,z).
Recordando a fórmula da distância em \mathbb{R}^3: a distância entre P=(x,y,z) e um ponto Q=(x_0,y_0,z_0) é
\text{dist}(P,Q)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}.
Aqui cada termo dentro da raiz é o quadrado da diferença de coordenadas correspondentes; a raiz dá a distância euclidiana.

Passo 3

Traduzimos a condição do enunciado para uma equação com distâncias:
\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2+(z-3)^2}=2\sqrt{(x-6)^2+(y-2)^2+(z+2)^2}.
Podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem perigo porque as distâncias são não negativas. Ao quadrar, obtemos:
(x+1)^2+(y-5)^2+(z-3)^2 = 4\bigl((x-6)^2+(y-2)^2+(z+2)^2\bigr).

Passo 4

Agora expandimos os quadrados cuidadosamente. Primeiro o lado esquerdo:
(x+1)^2+(y-5)^2+(z-3)^2 = x^2+2x+1 + y^2-10y+25 + z^2-6z+9,
que simplifica para
x^2+y^2+z^2 + 2x -10y -6z +35.
O lado direito:
4\bigl((x-6)^2+(y-2)^2+(z+2)^2\bigr) = 4\bigl(x^2-12x+36 + y^2-4y+4 + z^2+4z+4\bigr),
que dá, ao multiplicar por 4,
4x^2+4y^2+4z^2 -48x -16y +16z +176.

Passo 5

Igualando os dois lados e passando tudo para um lado obtemos
3x^2+3y^2+3z^2 -50x -6y +22z +141=0.
Dividindo toda a equação por 3 (para simplificar) vem
x^2+y^2+z^2 -\frac{50}{3}x -2y +\frac{22}{3}z +47 = 0.
Esta é uma equação quadrática geral em x,y,z. Se conseguirmos escrevê-la na forma (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2, teremos uma esfera de centro (x_0,y_0,z_0) e raio r.

Passo 6

Vamos completar o quadrado para cada variável. Para x:
x^2 -\frac{50}{3}x = \left(x-\frac{25}{3}\right)^2 - \left(\frac{25}{3}\right)^2 = \left(x-\frac{25}{3}\right)^2 - \frac{625}{9}.
Para y:
y^2 -2y = (y-1)^2 - 1.
Para z:
z^2 +\frac{22}{3}z = \left(z+\frac{11}{3}\right)^2 - \left(\frac{11}{3}\right)^2 = \left(z+\frac{11}{3}\right)^2 - \frac{121}{9}.

Passo 7

Substituindo essas expressões na equação dividida por 3 obtemos
\left(x-\frac{25}{3}\right)^2 - \frac{625}{9} + (y-1)^2 - 1 + \left(z+\frac{11}{3}\right)^2 - \frac{121}{9} + 47 = 0.
Agora somamos as constantes:
- \frac{625}{9} -1 - \frac{121}{9} + 47 = -\frac{746}{9} -\frac{9}{9} + \frac{423}{9} = -\frac{332}{9}.
Então a equação fica
\left(x-\frac{25}{3}\right)^2 + (y-1)^2 + \left(z+\frac{11}{3}\right)^2 - \frac{332}{9} = 0,
ou seja
\left(x-\frac{25}{3}\right)^2 + (y-1)^2 + \left(z+\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{332}{9}.

Passo 8

A forma obtida é exatamente a equação de uma esfera com centro \left(\dfrac{25}{3},\,1,\,-\dfrac{11}{3}\right) e raio \sqrt{\dfrac{332}{9}}. Podemos simplificar a raiz:
\sqrt{\frac{332}{9}}=\frac{\sqrt{332}}{3}=\frac{2\sqrt{83}}{3},
pois 332=4\cdot83 e 83 é primo. Portanto o conjunto pedido é uma esfera com o centro e raio dados acima.

Resposta

Centro: \left(\dfrac{25}{3},\,1,\,-\dfrac{11}{3}\right)
Raio: \dfrac{2\sqrt{83}}{3}

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