Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
f(x)=x \sqrt{\operatorname{sen} x}, y=0, x=0, x=\pi / 2 \quad eixo- x

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Função: f(x)=x\sqrt{\sin x}.
  • Curvas que delimitam a região: y=0, x=0, x=\pi/2 e o gráfico de y=f(x).
  • Eixo de rotação: eixo- x.
  • O que se pede: determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região acima em torno do eixo- x.

Passo 2

Entendendo o que significa “volume por rotação” (explicação didática): quando uma região do plano é girada em torno do eixo- x, cada fatia vertical em x gera um disco (se a região toca o eixo) cuja área é \pi vezes o quadrado do raio. O volume total é a soma (integral) dessas áreas ao longo do intervalo de x. Assim, para uma curva y=f(x) acima de y=0, a fórmula é
V=\pi\int_{a}^{b} \bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dx,
onde a e b são os limites em x. Aqui a=0 e b=\pi/2. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Primeiro calculemos o quadrado da função que será o termo dentro da integral:
\bigl(f(x)\bigr)^{2}=\bigl(x\sqrt{\sin x}\bigr)^{2}=x^{2}\sin x.
Expliquei: ao elevar x\sqrt{\sin x} ao quadrado, o \sqrt{\sin x} vira \sin x e x vira x^{2}.

Passo 4

Agora escrevemos o volume usando a fórmula dos discos com os limites dados:
V=\pi\int_{0}^{\pi/2} x^{2}\sin x\,dx.
Nosso problema reduziu-se a calcular essa integral definida e multiplicar por \pi.

Passo 5

Vou calcular a integral
I=\int_{0}^{\pi/2} x^{2}\sin x\,dx.
Para integrar x^{2}\sin x usamos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho para a primeira aplicação: u=x^{2} (porque ao derivar fica mais simples) e dv=\sin x\,dx. Então
du=2x\,dx,\qquad v=\int \sin x\,dx = -\cos x.
Aplicando a fórmula:
\int x^{2}\sin x\,dx = u v - \int v\,du = -x^{2}\cos x - \int (-\cos x)(2x\,dx).
Simplificando o sinal:
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\int x\cos x\,dx.

Passo 6

Agora calculamos a integral \int x\cos x\,dx por partes novamente. Escolho u=x e dv=\cos x\,dx. Então
du=dx,\qquad v=\int \cos x\,dx = \sin x.
Aplicando partes:
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C,
pois \int \sin x\,dx = -\cos x, e o sinal menos transforma em +\cos x.

Passo 7

Voltando para a integral original, substituímos o resultado:
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\bigl(x\sin x + \cos x\bigr) + C.
Ou escrevendo de forma expandida,
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.
Isso é uma primitiva de x^{2}\sin x.

Passo 8

Agora avaliamos a integral definida I de 0 até \pi/2 usando a primitiva encontrada. Seja
F(x)=-x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x.
Então
I=F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0).
Calculemos cada termo:
  • Para x=\pi/2: \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1. Logo
F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}\cdot 0 + 2\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 1 + 2\cdot 0 = \pi.
  • Para x=0: \cos 0=1 e \sin 0=0. Logo
F(0) = -0^{2}\cdot 1 + 2\cdot 0\cdot 0 + 2\cdot 1 = 2.

Passo 9

Portanto a integral é
I = \pi - 2.
E lembrando que o volume é V=\pi I, temos
V=\pi(\pi-2).

Passo 10

Se quiser uma aproximação numérica rápida, \pi(\pi-2)\approx 3{,}586, mas a forma exata é melhor para a prova: \pi(\pi-2).

Resposta

\pi(\pi-2)

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