Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
eixo-
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Função:
. - Curvas que delimitam a região:
, , e o gráfico de . - Eixo de rotação: eixo-
. - O que se pede: determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região acima em torno do eixo-
.
Passo 2
Entendendo o que significa “volume por rotação” (explicação didática): quando uma região do plano é girada em torno do eixo-
, cada fatia vertical em
gera um disco (se a região toca o eixo) cuja área é
vezes o quadrado do raio. O volume total é a soma (integral) dessas áreas ao longo do intervalo de
. Assim, para uma curva
acima de
, a fórmula é
onde
e
são os limites em
. Aqui
e
. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Primeiro calculemos o quadrado da função que será o termo dentro da integral:
Expliquei: ao elevar
ao quadrado, o
vira
e
vira
.
Passo 4
Agora escrevemos o volume usando a fórmula dos discos com os limites dados:
Nosso problema reduziu-se a calcular essa integral definida e multiplicar por
.
Passo 5
Vou calcular a integral
Para integrar
usamos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções
e
,
Escolho para a primeira aplicação:
(porque ao derivar fica mais simples) e
. Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando o sinal:
Passo 6
Agora calculamos a integral
por partes novamente. Escolho
e
. Então
Aplicando partes:
pois
, e o sinal menos transforma em
.
Passo 7
Voltando para a integral original, substituímos o resultado:
Ou escrevendo de forma expandida,
Isso é uma primitiva de
.
Passo 8
Agora avaliamos a integral definida
de
até
usando a primitiva encontrada. Seja
Então
Calculemos cada termo:
- Para
: e . Logo
- Para
: e . Logo
Passo 9
Portanto a integral é
E lembrando que o volume é
, temos
Passo 10
Se quiser uma aproximação numérica rápida,
, mas a forma exata é melhor para a prova:
.