Admita que o campo elétrico e o campo magnético variam apenas na direção x, e que possuem apenas componentes E_{y}(x, t) e B_{z}(x, t) diferentes de zero. Nessas condições, o sistema reduz-se a duas equações diferenciais acopladas:
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}=-\frac{\partial B_{z}}{\partial x} \\\ \frac{\partial B_{z}}{\partial t}=-\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial E_{y}}{\partial x} \end{array}\right.
(a) Mostre que as equações acima podem ser reescritas na forma matricial de um sistema dinâmico linear:
\frac{\partial}{\partial t}\left[\begin{array}{l} E_{y} \\\ B_{z} \end{array}\right]=A \frac{\partial}{\partial x}\left[\begin{array}{l} E_{y} \\\ B_{z} \end{array}\right], \quad \text { com } \quad A=\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ -\mu_{0} \varepsilon_{0} & 0 \end{array}\right]
(b) Calcule os autovalores e autovetores da matriz A e interprete fisicamente o significado dos resultados (propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo).
(c) Considere \mu_{0} \varepsilon_{0}=1 / c^{2}, onde c é a velocidade da luz no vácuo. Mostre que as soluções gerais de E_{y} e B_{z} podem ser escritas como funções que se propagam na direção positiva e negativa de x, e identifique as direções de propagação associadas a cada autovalor.
(d) Esboce o retrato de fase no plano ( E_{y}, B_{z} ), indicando o comportamento das trajetórias para cada modo de propagação. Classifique o ponto de equilíbrio da origem quanto à estabilidade.
(e) Discuta brevemente como a inclusão de perdas dielétricas (por exemplo, uma condutividade \sigma ) modificaria a natureza do ponto de equilíbrio e o comportamento temporal do campo eletromagnético.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de equações para E_y(x,t) e B_z(x,t), que dependem só de x e t, e que têm apenas as componentes E_y e B_z não nulas. Perguntas pedidas:
  1. (a) Escrever o sistema na forma matricial \dfrac{\partial}{\partial t}\begin{bmatrix}E_y\\\ B_z\end{bmatrix}=A\,\dfrac{\partial}{\partial x}\begin{bmatrix}E_y\\\ B_z\end{bmatrix} e identificar A.
  2. (b) Calcular autovalores e autovetores da matriz A e interpretar fisicamente (propagação de ondas no vácuo).
  3. (c) Usando \mu_0\varepsilon_0=1/c^{2}, mostrar que as soluções gerais de E_y e B_z são combinações de ondas que se propagam em +x e -x, e relacionar cada modo àquele autovalor.
  4. (d) Esboçar o retrato de fase no plano (E_y,B_z), indicar comportamento das trajetórias para cada modo e classificar a origem quanto à estabilidade.
  5. (e) Discutir qualitativamente o efeito de perdas dielétricas (condutividade \sigma) sobre a natureza do ponto de equilíbrio e o comportamento temporal dos campos.
Informações relevantes dadas:
  • As equações acopladas são
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial E_{y}}{\partial t}=-\frac{\partial B_{z}}{\partial x},\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial B_{z}}{\partial t}=-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial E_{y}}{\partial x}. \end{array}\right.
  • A matriz proposta é
A=\begin{bmatrix}0 & -1\\[4pt] -\mu_0\varepsilon_0 & 0\end{bmatrix}.
  • Em (c) usar \mu_0\varepsilon_0=1/c^2.
A partir daqui vou transformar, diagonalizar, solucionar e interpretar passo a passo.]

Passo 2

(a) Mostrar a forma matricial. Vamos agrupar as incógnitas em um vetor coluna \displaystyle U(x,t)=\begin{bmatrix}E_y(x,t)\\[4pt] B_z(x,t)\end{bmatrix}. A derivada temporal do vetor é
\frac{\partial}{\partial t}U=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial E_y}{\partial t}\\[6pt]\dfrac{\partial B_z}{\partial t}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\dfrac{\partial B_z}{\partial x}\\[6pt]-\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial E_y}{\partial x}\end{bmatrix}.
Isto pode ser escrito como produto de uma matriz A pela derivada espacial do vetor U:
\frac{\partial}{\partial t}U = \begin{bmatrix}0 & -1\\[6pt]-\mu_0\varepsilon_0 & 0\end{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x}U.
Portanto a forma matricial pedida é
\frac{\partial}{\partial t}\begin{bmatrix}E_y\\[4pt] B_z\end{bmatrix} = A\,\frac{\partial}{\partial x}\begin{bmatrix}E_y\\[4pt] B_z\end{bmatrix}, \qquad A=\begin{bmatrix}0 & -1\\[6pt]-\mu_0\varepsilon_0 & 0\end{bmatrix},
o que coincide com o enunciado.]

Passo 3

(b) Calcular autovalores e autovetores de A.
  1. Equação característica: para \lambda autovalor de A temos
\det(A-\lambda I)=\det\begin{bmatrix}-\lambda & -1\\[4pt]-\mu_0\varepsilon_0 & -\lambda\end{bmatrix} =\lambda^2-\mu_0\varepsilon_0.
Igualando a zero,
\lambda^2-\mu_0\varepsilon_0=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.
  1. Autovetores: tome um autovalor \lambda. Resolver (A-\lambda I)v=0 para v=\begin{bmatrix}v_1\\\ v_2\end{bmatrix}:
\begin{bmatrix}-\lambda & -1\\[4pt]-\mu_0\varepsilon_0 & -\lambda\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1\\\ v_2\end{bmatrix} =0
da primeira linha obtemos -\lambda v_1 - v_2=0\Rightarrow v_2=-\lambda v_1. Podemos escolher v_1=1 para normalizar arbitrariamente o autovetor. Assim um autovetor associado a \lambda é
v(\lambda)=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-\lambda\end{bmatrix}.
Portanto os autovalores e autovetores são
\lambda_{\pm}=\pm\sqrt{\mu_0\varepsilon_0},\qquad v_{\pm}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-\lambda_{\pm}\end{bmatrix}.
  1. Interpretação física (intuição didática): autovalores reais indicam modos de propagação sem amortecimento (modos de transporte). Cada autovetor dá uma combinação fixa entre E_y e B_z que se propaga segundo a sua característica. O sinal do autovalor determina a direção de propagação (vamos tornar isso explícito no passo seguinte): autovalores com sinais opostos correspondem a dois modos que se propagam em sentidos opostos ao longo do eixo x. Este é o mecanismo matemático por trás das ondas eletromagnéticas unidimensionais (dois modos: um indo para a direita, outro para a esquerda).]

Passo 4

(c) Obter soluções gerais e identificar direções de propagação.
  1. Primeiro, podemos diagonalizar formalmente A. Defina a matriz de autovetores S=[v_+ \; v_-] e escreva A=S\Lambda S^{-1} com \Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_+,\lambda_-). Fazendo a mudança de variável W=S^{-1}U (componentes de W são combinações lineares de E_y e B_z), a equação \partial_t U=A\partial_x U transforma-se em
\partial_t W=\Lambda\,\partial_x W,
ou seja, para cada componente escalar w_i temos uma equação de transporte de primeira ordem
\frac{\partial w_i}{\partial t}=\lambda_i\frac{\partial w_i}{\partial x}.
  1. Resolver a equação de transporte: a equação escalar \partial_t w=\lambda\partial_x w é linear e de primeira ordem. Uma maneira direta de ver a solução é procurar w(x,t)=W_0(x+\lambda t). Substituindo,
\partial_t w=\lambda W_0'(x+\lambda t),\qquad \partial_x w=W_0'(x+\lambda t),
logo \partial_t w-\lambda\partial_x w=0, portanto w(x,t)=W_0(x+\lambda t) é solução. Assim w_i é constante ao longo das curvas x+\lambda_i t=\text{const}. Em termos de argumentos de função, cada w_i é uma função de x+\lambda_i t.
  1. Usando os autovalores \lambda_\pm=\pm\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} e retomando a notação física \mu_0\varepsilon_0=1/c^2 (como dado), temos
\lambda_\pm=\pm\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\pm\frac{1}{c}.
Logo cada componente característica w_\pm é uma função de x\pm \dfrac{1}{c}t:
w_+(x,t)=F\!\bigl(x+\tfrac{1}{c}t\bigr),\qquad w_-(x,t)=G\!\bigl(x-\tfrac{1}{c}t\bigr),
onde F e G são funções arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
  1. Reescrever em termos de E_y e B_z. Invertendo a mudança U=S W, cada combinação linear E_y,B_z é soma das componentes w_\pm multiplicadas pelas colunas de S. Explicitamente, se escolhermos combinações úteis (mostro uma escolha prática que simplifica a expressão), define-se as variáveis características
w_1=E_y + \alpha B_z,\qquad w_2=E_y-\alpha B_z,
e determinamos \alpha de modo que cada w_i satisfaça uma equação de transporte puro. Substituindo e comparando coeficientes (como feito no passo 3 da análise), encontra-se \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=c. Com essa escolha obtemos
w_1(x,t)=E_y(x,t)+c\,B_z(x,t),\qquad w_2(x,t)=E_y(x,t)-c\,B_z(x,t).
As equações resultantes são transportes
\frac{\partial w_1}{\partial t}+\frac{1}{c}\frac{\partial w_1}{\partial x}=0, \qquad \frac{\partial w_2}{\partial t}-\frac{1}{c}\frac{\partial w_2}{\partial x}=0,
cuja solução geral é
w_1(x,t)=F\!\bigl(x-\tfrac{1}{c}t\bigr),\qquad w_2(x,t)=G\!\bigl(x+\tfrac{1}{c}t\bigr).
  1. Finalmente, revertendo para E_y e B_z (resolvendo o sistema linear para E_y e B_z em termos de w_1,w_2):
E_y=\tfrac{1}{2}\bigl(w_1+w_2\bigr),\qquad B_z=\tfrac{1}{2c}\bigl(w_1-w_2\bigr).
Substituindo as formas de w_1,w_2 chegamos à d’Alembertiana (solução geral de duas ondas unidimensionais):
\boxed{\displaystyle E_y(x,t)=\tfrac{1}{2}\Bigl[F\!\bigl(x-\tfrac{1}{c}t\bigr)+G\!\bigl(x+\tfrac{1}{c}t\bigr)\Bigr],\qquad B_z(x,t)=\tfrac{1}{2c}\Bigl[F\!\bigl(x-\tfrac{1}{c}t\bigr)-G\!\bigl(x+\tfrac{1}{c}t\bigr)\Bigr], }
onde F descreve a onda de um sentido e G a do sentido oposto. Observação sobre direções: a função F\bigl(x-\tfrac{1}{c}t\bigr) representa um modo que mantém sua forma deslocando-se no sentido positivo de x com velocidade \tfrac{1}{c} (o conjunto de pontos onde o argumento é constante satisfaz x-\tfrac{1}{c}t= const, logo x cresce com t), enquanto G\bigl(x+\tfrac{1}{c}t\bigr) é o modo que se desloca no sentido negativo de x. (A direção associada a cada autovalor segue do sinal de \lambda_\pm nas equações de transporte das componentes características.)

Passo 5

(d) Retrato de fase no plano (E_y,B_z) e classificação da origem.
  1. Modos elementares e trajetórias: cada modo característico encontrado corresponde a uma relação linear B_z=-\lambda E_y (lembre: autovetores v_\pm=[1,\,-\lambda_\pm]^T). Assim, para um modo puro (onda que tem apenas a componente w_+ ou apenas w_-), o estado (E_y,B_z) em qualquer ponto do espaço mantém-se sobre a reta do autovetor v_\pm — ou seja, as trajetórias no plano (E_y,B_z) são retas que passam pela origem com inclinações dadas por esses autovetores. Concretamente, as duas retas são
B_z=-\lambda_+ E_y,\qquad B_z=-\lambda_- E_y.
  1. Comportamento temporal: como os autovalores são reais e de sinais opostos, os dois modos correspondem a direções distintas (duas retas através da origem). No retrato de fase, as soluções iniciais que são combinações dos dois modos seguem a soma das contribuições ao longo dessas retas; geometricamente, as trajetórias são segmentos retilíneos ao longo das direções dos autovetores (para modos puros) ou combinações que passam pela origem. Não há órbitas fechadas nem espirais porque não há partes imaginárias nos autovalores: é comportamento de tipo “sela” no sentido de direções de crescimento/decrescimento quando se interpreta o avanço temporal ao longo das características.
  2. Classificação da origem: como os autovalores (do problema de diagonalização que controla as características) têm sinais opostos, a origem é um ponto de equilíbrio do tipo sela (saddle) — isto é, é instável (há direções associadas a crescimento no sentido das características e direções associadas a decrescimento). Em termos físicos: a origem é um ponto neutro para o campo nulo; pequenas perturbações se decompõem em ondas que se deslocam para as duas direções em x (não há amortecimento intrínseco no sistema ideal), de modo que a origem não é assintoticamente estável.

Passo 6

(e) Efeito de perdas dielétricas (condutividade \sigma) — explicação qualitativa e como altera o ponto de equilíbrio.
  1. Modelo físico e termo adicional: uma condutividade \sigma (meio com perdas) aparece nas equações de Maxwell via corrente de condução \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}. Em modelos unidimensionais esto aparece como termos proporcionais a -\sigma E_y (amortecimento) nas equações temporais. Esquematicamente, o sistema linear passa a ter termos do tipo
\frac{\partial}{\partial t}\begin{bmatrix}E_y\\\ B_z\end{bmatrix} = A\frac{\partial}{\partial x}\begin{bmatrix}E_y\\\ B_z\end{bmatrix} + D\begin{bmatrix}E_y\\\ B_z\end{bmatrix},
onde D é uma matriz de amortecimento diagonal (por exemplo D=\begin{bmatrix}-\gamma & 0\\[4pt]0 & 0\end{bmatrix} com \gamma\propto\sigma/\varepsilon_0), representando a dissipação no campo elétrico.
  1. Consequências qualitativas: a presença de -\gamma E_y faz com que as equações características deixem de ser puramente de transporte sem perda; em vez disso, as amplitudes das ondas decaem exponencialmente no tempo enquanto se propagam. Matematicamente, os autovalores que antes eram puramente reais passam a ter componentes reais negativas (ou deslocam-se no plano complexo), introduzindo amortecimento temporal. Assim:
  • As ondas viajam, mas com amplitude decrescente exponencialmente (atenuação).
  • No espaço de fase (E_y,B_z) as trajetórias deixam de ser retas passantes pela origem e passam a espiralar (ou simplesmente aproximar-se monotonicamente) para a origem dependendo se aparecem partes imaginárias nos autovalores; genericamente há atração: a origem torna-se assintoticamente estável (ponto atrator), porque a dissipação remove energia do campo.
  1. Conclusão física curta: perdas dielétricas transformam o ponto de equilíbrio da origem de um ponto “sela neutra” (no caso ideal, sem perdas) para um ponto assintoticamente estável (os campos tendem a zero com o tempo), com atenuação das ondas e decaimento exponencial das amplitudes.]

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\begin{bmatrix}E_y\\[4pt]B_z\end{bmatrix}=A\frac{\partial}{\partial x}\begin{bmatrix}E_y\\[4pt]B_z\end{bmatrix},\qquad A=\begin{bmatrix}0 & -1\\[6pt]-\mu_0\varepsilon_0 & 0\end{bmatrix}.
(b) \displaystyle\text{Autovalores } \lambda_{\pm}=\pm\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.\quad
\displaystyle\text{Autovetores } v_{\pm}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-\lambda_{\pm}\end{bmatrix}. Física: autovalores reais de sinais opostos correspondem a dois modos de propagação (sentidos opostos) com combinações fixas entre E_y e B_z.
(c) Com \mu_0\varepsilon_0=1/c^2 definindo c, introduzindo as variáveis características w_1=E_y+cB_z e w_2=E_y-cB_z obtém-se
w_1(x,t)=F\!\bigl(x-\tfrac{1}{c}t\bigr),\qquad w_2(x,t)=G\!\bigl(x+\tfrac{1}{c}t\bigr).
Logo a solução geral é
\displaystyle E_y(x,t)=\tfrac{1}{2}\Bigl[F\!\bigl(x-\tfrac{1}{c}t\bigr)+G\!\bigl(x+\tfrac{1}{c}t\bigr)\Bigr],\quad B_z(x,t)=\tfrac{1}{2c}\Bigl[F\!\bigl(x-\tfrac{1}{c}t\bigr)-G\!\bigl(x+\tfrac{1}{c}t\bigr)\Bigr].
O termo F representa a onda que se propaga no sentido positivo de x e G a onda no sentido negativo (direção associada aos sinais dos autovalores).
(d) No plano (E_y,B_z) as trajetórias associadas a modos puros são retas passando pela origem com inclinações dadas pelos autovetores v_{\pm}. A origem é um ponto de equilíbrio do tipo sela (saddle) — instável no sentido que pequenas perturbações se decompõem em modos que se propagam em sentidos opostos (não há amortecimento no caso ideal).
(e) A inclusão de perdas dielétricas (condutividade \sigma) introduz termos de amortecimento nas equações; isso desloca os autovalores no plano complexo com parte real negativa, produzindo atenuação temporal das ondas. Consequência: as amplitudes decaem exponencialmente enquanto se propagam, e a origem torna-se assintoticamente estável (os campos tendem para zero com o tempo).]

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