Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
y=e^{-x^{2}}, \quad y=0, x=0, eixo- y

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelos gráficos y=e^{-x^{2}}, y=0 e x=0 em torno do eixo y.\n
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:\n
  • A curva superior é y=e^{-x^{2}}.\n
  • A curva inferior é y=0 (eixo x).\n
  • A fronteira vertical é x=0 (eixo y).\n
  • O sólido é obtido girando essa região em torno do eixo y.\n
  • Devemos notar que y=e^{-x^{2}}>0 para todo x, e que y\to 0 quando x\to\infty. Portanto o intervalo em x que descreve a região é x\in[0,\infty). A região se estende até x\to\infty mas a altura tende a zero; isso leva a um integral impróprio que pode convergir.

Passo 2

Escolha do método de cálculo e explicação do método (aula rápida sobre o método das cascas cilíndricas).\n
Por que usar o método das cascas? Quando giramos em torno do eixo y e a região está descrita por y=f(x), é muitas vezes mais simples usar cascas cilíndricas em x do que discos/aros em y, porque assim evitamos expressar x como função de y ( x=\sqrt{-\ln y}, que é chato). O método das cascas é direto e usa integrais em x.\n
A ideia do método das cascas cilíndricas: dividir a região em tiras verticais de largura infinitesimal dx em abscissa x. Ao girar uma tira vertical em torno do eixo y, ela gera uma casca cilíndrica de raio igual à distância ao eixo y e altura igual ao valor da função.\n
Fórmula diferencial de volume de uma casca: \n
dV = \text{(circunferência da casca)} \times \text{(altura)} \times \text{(espessura)} = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot dx.ê\n
Aqui:\n
  • o raio da casca é x (distância do ponto x ao eixo y);\n
  • a altura da casca é y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}} = e^{-x^{2}}-0 = e^{-x^{2}};\n - a espessura é \(dx.\n
    Portanto, o volume total é a integral das cascas para x variando de 0 a \infty (intervalo observado no Passo 1):\n
V = \int_{0}^{\infty} 2\pi x e^{-x^{2}}\,dx.)

Passo 3

Transformação do integral e cálculo (substituição). Vamos avaliar\n
V = 2\pi \int_{0}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx.\n
Essa é uma integral imprópria (limite superior infinito) mas primeiro tratamos a antiderivada. Use a substituição padrão para termos do tipo x e^{-x^{2}}: \n
Defina \,u = x^{2}. Então \,du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.\n
Fazendo a mudança de variável e convertendo os limites: quando x=0 temos u=0; quando x\to\infty temos u\to\infty.\n
Substituindo na integral:\n
V = 2\pi \int_{0}^{\infty} x e^{-x^{2}}\,dx = 2\pi \int_{u=0}^{u=\infty} e^{-u}\cdot \tfrac{1}{2}\,du.\n
Simplificando o fator 2\pi com \tfrac{1}{2}:\n
V = \pi \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du.\n
Agora a integral é simples: \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = \bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{\infty} = 1, porque e^{-\infty}=0 e e^{0}=1.\n
Logo\n
V = \pi \cdot 1 = \pi.

Passo 4

Discussão sobre convergência e por que essa região, embora se estenda até x\to\infty, gera volume finito.\n
A região tem área finita porque a função e^{-x^{2}} decai muito rapidamente para zero quando x cresce; ao multiplicarmos por x na integral das cascas, o fator exponencial domina e garante convergência. No cálculo isso se vê porque a integral transformada \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du converge. Portanto o sólido tem volume finito igual a \pi.\n
Observação rápida (comparação com outro método): se tentássemos usar o método dos discos/aros, precisaríamos escrever x em função de y e integrar em y com uma fórmula envolvendo \pi x^{2}, o que levaria a integrar \pi(\sqrt{-\ln y})^{2} em y e é desnecessariamente mais trabalhoso. O método das cascas foi a escolha mais direta.

Resposta

\pi

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