Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
, eixo-
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelos gráficos
,
e
em torno do eixo
.\n
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:\n
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:\n
- A curva superior é
.\n - A curva inferior é
(eixo ).\n - A fronteira vertical é
(eixo ).\n - O sólido é obtido girando essa região em torno do eixo
.\n - Devemos notar que
para todo , e que quando . Portanto o intervalo em que descreve a região é . A região se estende até mas a altura tende a zero; isso leva a um integral impróprio que pode convergir.
Passo 2
Escolha do método de cálculo e explicação do método (aula rápida sobre o método das cascas cilíndricas).\n
Por que usar o método das cascas? Quando giramos em torno do eixo e a região está descrita por
, é muitas vezes mais simples usar cascas cilíndricas em
do que discos/aros em
, porque assim evitamos expressar
como função de
(
, que é chato). O método das cascas é direto e usa integrais em
.\n
A ideia do método das cascas cilíndricas: dividir a região em tiras verticais de largura infinitesimal em abscissa
. Ao girar uma tira vertical em torno do eixo
, ela gera uma casca cilíndrica de raio igual à distância ao eixo
e altura igual ao valor da função.\n
Fórmula diferencial de volume de uma casca: \n
Por que usar o método das cascas? Quando giramos em torno do eixo
A ideia do método das cascas cilíndricas: dividir a região em tiras verticais de largura infinitesimal
Fórmula diferencial de volume de uma casca: \n
Aqui:\n
- o raio da casca é
(distância do ponto ao eixo );\n - a altura da casca é
.\n
Portanto, o volume total é a integral das cascas paravariando de a (intervalo observado no Passo 1):\n
Passo 3
Transformação do integral e cálculo (substituição). Vamos avaliar\n
Essa é uma integral imprópria (limite superior infinito) mas primeiro tratamos a antiderivada. Use a substituição padrão para termos do tipo
: \n
Defina . Então
, ou seja
.\n
Fazendo a mudança de variável e convertendo os limites: quando temos
; quando
temos
.\n
Substituindo na integral:\n
Defina
Fazendo a mudança de variável e convertendo os limites: quando
Substituindo na integral:\n
Simplificando o fator
com
:\n
Agora a integral é simples:
, porque
e
.\n
Logo\n
Logo\n
Passo 4
Discussão sobre convergência e por que essa região, embora se estenda até
, gera volume finito.\n
A região tem área finita porque a função decai muito rapidamente para zero quando
cresce; ao multiplicarmos por
na integral das cascas, o fator exponencial domina e garante convergência. No cálculo isso se vê porque a integral transformada
converge. Portanto o sólido tem volume finito igual a
.\n
Observação rápida (comparação com outro método): se tentássemos usar o método dos discos/aros, precisaríamos escrever em função de
e integrar em
com uma fórmula envolvendo
, o que levaria a integrar
em
e é desnecessariamente mais trabalhoso. O método das cascas foi a escolha mais direta.
A região tem área finita porque a função
Observação rápida (comparação com outro método): se tentássemos usar o método dos discos/aros, precisaríamos escrever