Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
, eixo-
Passo 1
O que o problema pede: calcular o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno do eixo
, a região limitada por
,
e
.
Informações dadas:
- A curva é
. - As retas verticais que limitam são
e . - O eixo de rotação é o eixo
. - A região considerada é a área entre a curva e o eixo
para (a função é positiva aí, pois ).
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática e intuitiva).
Quando rotacionamos ao redor do eixo
uma região que está entre uma curva
(acima do eixo) e o próprio eixo
, o sólido pode ser visto como empilhamento de discos infinitesimais perpendiculares ao eixo
. Cada disco, em
fixo, tem:
- raio
(distância da curva ao eixo ), - espessura
, - área da secção transversal
.
Logo, o volume total é a integral da área dos discos ao longo de
do ponto inicial ao final:
Isso é o método dos discos; a ideia é aproximar o sólido por muitos discos fininhos e somá-los (integral).
Passo 3
Aplicando o método ao nosso caso.
Aqui
,
,
. Portanto
Usando a propriedade de potências
, temos
. Assim
Passo 4
Como calcular a integral
(aula rápida sobre integração de exponenciais).
Regra geral: para
e constante
, a derivada de
é
Logo, para integrar, invertemos esse fator:
pois ao derivar o lado direito voltamos a
.
No nosso caso
e
. Portanto
Passo 5
Avaliação da integral definida de
a
.
Usamos a primitiva encontrada e aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
Fazendo a manipulação algébrica para ficar positivo no numerador:
Passo 6
Simplificar as potências e escrever o volume final.
Calculemos as potências de
:
A diferença é
Então a integral vale
.
Multiplicando por
(fator da fórmula dos discos), obtemos o volume: