Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
y=3^{-x}, \quad x=1, x=2, eixo- x

Passo 1

O que o problema pede: calcular o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno do eixo x, a região limitada por y=3^{-x}, x=1 e x=2.
Informações dadas:
  • A curva é y=3^{-x}.
  • As retas verticais que limitam são x=1 e x=2.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
  • A região considerada é a área entre a curva e o eixo x para 1\le x\le 2 (a função é positiva aí, pois 3^{-x}>0).

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática e intuitiva).
Quando rotacionamos ao redor do eixo x uma região que está entre uma curva y=f(x) (acima do eixo) e o próprio eixo x, o sólido pode ser visto como empilhamento de discos infinitesimais perpendiculares ao eixo x. Cada disco, em x fixo, tem:
  • raio r(x)=f(x) (distância da curva ao eixo x),
  • espessura dx,
  • área da secção transversal A(x)=\pi [r(x)]^2=\pi [f(x)]^2.
Logo, o volume total é a integral da área dos discos ao longo de x do ponto inicial ao final:
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx=\pi\int_{a}^{b} [f(x)]^2\,dx.
Isso é o método dos discos; a ideia é aproximar o sólido por muitos discos fininhos e somá-los (integral).

Passo 3

Aplicando o método ao nosso caso.
Aqui f(x)=3^{-x}, a=1, b=2. Portanto
V=\pi\int_{1}^{2} \bigl(3^{-x}\bigr)^2\,dx.
Usando a propriedade de potências \bigl(a^{b}\bigr)^{c}=a^{bc}, temos \bigl(3^{-x}\bigr)^2=3^{-2x}. Assim
V=\pi\int_{1}^{2} 3^{-2x}\,dx.

Passo 4

Como calcular a integral \displaystyle\int 3^{-2x}\,dx (aula rápida sobre integração de exponenciais).
Regra geral: para a>0 e constante k, a derivada de a^{kx} é
\frac{d}{dx}a^{kx}=a^{kx}\cdot k\ln a.
Logo, para integrar, invertemos esse fator:
\int a^{kx}\,dx=\frac{a^{kx}}{k\ln a}+C,
pois ao derivar o lado direito voltamos a a^{kx}.
No nosso caso a=3 e k=-2. Portanto
\int 3^{-2x}\,dx=\frac{3^{-2x}}{-2\ln 3}+C.

Passo 5

Avaliação da integral definida de 1 a 2.
Usamos a primitiva encontrada e aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
\int_{1}^{2} 3^{-2x}\,dx=\left[\frac{3^{-2x}}{-2\ln 3}\right]_{1}^{2} =\frac{3^{-4}-3^{-2}}{-2\ln 3}.
Fazendo a manipulação algébrica para ficar positivo no numerador:
\frac{3^{-4}-3^{-2}}{-2\ln 3}=\frac{3^{-2}-3^{-4}}{2\ln 3}.

Passo 6

Simplificar as potências e escrever o volume final.
Calculemos as potências de 3:
3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9},\qquad 3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}.
A diferença é
3^{-2}-3^{-4}=\frac{1}{9}-\frac{1}{81}=\frac{9-1}{81}=\frac{8}{81}.
Então a integral vale \dfrac{8}{81}\cdot\dfrac{1}{2\ln 3}=\dfrac{8}{162\ln 3}=\dfrac{4}{81\ln 3}.
Multiplicando por \pi (fator da fórmula dos discos), obtemos o volume:
V=\pi\cdot\frac{4}{81\ln 3}=\frac{4\pi}{81\ln 3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{81\ln 3}

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