Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos das equações
,
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
O que precisamos encontrar: a área da região fechada por essas curvas (ou seja, a área entre a curva
e o eixo
até a reta vertical
).
Passo 2
Entendendo a função
(seno hiperbólico):\n
A definição é
A definição é
Propriedades úteis:
-
(porque ). -
é ímpar: . - Derivada:
, onde
Essas propriedades vão nos ajudar a localizar os limites de integração e a integrar.
Passo 3
Determinar os pontos de interseção relevantes:\n
A região é limitada por e
. Para achar onde se encontram, resolvemos
A região é limitada por
Como
só em
, temos
. Portanto a curva corta o eixo
em
. Juntando com a reta vertical
, a região fica entre
e
, sobre o eixo
.
Passo 4
Montar a integral que representa a área:\n
A área entre uma curva e o eixo
de
até
é
A área entre uma curva
quando
no intervalo. Aqui
. Observando
para
: como
é crescente e
, temos
em
. Logo
Passo 5
Calcular a integral
passo a passo usando substituição:\n
Seja . Então
ou
. Quando
,
. Quando
,
. Substituindo:
Seja
Agora usamos que a primitiva de
é
, porque
. Portanto
Lembrando que
, obtemos
Passo 6
Interpretação final e aproximação numérica (opcional):\n
A forma exata da área é . Se quiser uma aproximação decimal, use
, então
A forma exata da área é