Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
y=\operatorname{senh} 3 x, \quad y=0, \quad x=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos das equações y=\operatorname{senh}3x, y=0 e x=1.\n
Informações dadas:
y=\operatorname{senh}3x,\qquad y=0,\qquad x=1.
O que precisamos encontrar: a área da região fechada por essas curvas (ou seja, a área entre a curva y=\operatorname{senh}3x e o eixo y=0 até a reta vertical x=1).

Passo 2

Entendendo a função \operatorname{senh} (seno hiperbólico):\n
A definição é
\operatorname{senh} t = \frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
Propriedades úteis:
  • \operatorname{senh}0=0 (porque e^{0}-e^{0}=0).
  • \operatorname{senh} é ímpar: \operatorname{senh}(-t)=-\operatorname{senh}t.
  • Derivada: \dfrac{d}{dt}\operatorname{senh}t=\operatorname{cosh}t, onde
\operatorname{cosh}t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}.
Essas propriedades vão nos ajudar a localizar os limites de integração e a integrar.

Passo 3

Determinar os pontos de interseção relevantes:\n
A região é limitada por y=\operatorname{senh}3x e y=0. Para achar onde se encontram, resolvemos
\operatorname{senh}3x=0.
Como \operatorname{senh}t=0 só em t=0, temos 3x=0\Rightarrow x=0. Portanto a curva corta o eixo y=0 em x=0. Juntando com a reta vertical x=1, a região fica entre x=0 e x=1, sobre o eixo y=0.

Passo 4

Montar a integral que representa a área:\n
A área entre uma curva y=f(x) e o eixo y=0 de x=a até x=b é
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx,Á
quando f(x)\ge 0 no intervalo. Aqui f(x)=\operatorname{senh}3x. Observando \operatorname{senh}3x para x\in[0,1]: como \operatorname{senh} é crescente e \operatorname{senh}0=0, temos \operatorname{senh}3x\ge0 em [0,1]. Logo
\text{Área}=\int_{0}^{1}\operatorname{senh}3x\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1}\operatorname{senh}3x\,dx passo a passo usando substituição:\n
Seja u=3x. Então du=3\,dx ou dx=\dfrac{du}{3}. Quando x=0, u=0. Quando x=1, u=3. Substituindo:
\int_{0}^{1}\operatorname{senh}3x\,dx = \int_{u=0}^{u=3}\operatorname{senh}u\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{3}\operatorname{senh}u\,du.
Agora usamos que a primitiva de \operatorname{senh}u é \operatorname{cosh}u, porque \dfrac{d}{du}\operatorname{cosh}u=\operatorname{senh}u. Portanto
\frac{1}{3}\int_{0}^{3}\operatorname{senh}u\,du = \frac{1}{3}\big[\operatorname{cosh}u\big]_{0}^{3} = \frac{1}{3}\big(\operatorname{cosh}3-\operatorname{cosh}0\big).
Lembrando que \operatorname{cosh}0=1, obtemos
\text{Área}=\frac{1}{3}\big(\operatorname{cosh}3-1\big).Á

Passo 6

Interpretação final e aproximação numérica (opcional):\n
A forma exata da área é \dfrac{1}{3}(\operatorname{cosh}3-1). Se quiser uma aproximação decimal, use \operatorname{cosh}3=\dfrac{e^{3}+e^{-3}}{2}\approx 10{,}067662, então
\text{Área}\approx \frac{1}{3}(10{,}067662-1)=\frac{9{,}067662}{3}\approx 3{,}022554.Á

Resposta

\dfrac{1}{3}\big(\operatorname{cosh}3-1\big)

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