Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
, eixo-
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada pelos gráficos
Informações relevantes que temos:
- A curva é
. - A reta vertical que limita a região é
. - A outra fronteira é
(eixo ); a curva cruza em (pois ). - Portanto a região está para
variando de até e para entre e . - Queremos o volume do sólido de revolução ao girar essa região em torno do eixo
.
Passo 2
Escolhemos o método dos cascos cilíndricos (método das cascas) porque estamos girando uma região que é naturalmente descrita como
em função de
em torno do eixo
. Vou explicar a fórmula do método e o que cada termo representa.
Fórmula do método das cascas (para rotação em torno do eixo
):
Aqui:
-
é a distância de um elemento vertical até o eixo de rotação. Como giramos em torno do eixo , a distância é . -
é a altura da casca, isto é, a diferença entre a função superior e a inferior: . - Os limites
e são e , pois a região vai de até .
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Passo 3
Vamos calcular a integral
Uma maneira prática é escrever
. Assim:
Logo
Definimos
e
. Vamos calcular cada um.
Passo 4
Cálculo de
. Há uma primitiva conhecida:
Podemos verificar rapidamente: derivando
obtemos
No nosso caso
(
), então
Calculando:
então
Passo 5
Cálculo de
.
Usamos a primitiva padrão (pode ser obtida por substituição hiperbólica
ou por partes); a fórmula é
Verificação rápida por diferenciação confirma que a derivada desta expressão é
.
Para
,
Agora avaliamos em
e
.
Em
:
. Assim
Em
:
, e o termo
é zero; o log dá
.
Portanto
(Aqui usei
.)
Passo 6
Agora voltamos para
:
Agrupando os termos com log:
Então
Passo 7
Finalmente o volume é
É uma expressão exata e adequada para apresentar como resposta final. Força aí — você já tem a expressão pronta para usar na prova!