Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
y=x\left(x^{2}+25\right)^{-1 / 2}, \quad y=0, x=5, eixo- y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelos gráficos
y = x\left(x^{2}+25\right)^{-1/2},\qquad y=0,\qquad x=5.
Informações relevantes que temos:
  • A curva é y=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+25}}.
  • A reta vertical que limita a região é x=5.
  • A outra fronteira é y=0 (eixo x); a curva cruza y=0 em x=0 (pois \dfrac{0}{\sqrt{0+25}}=0).
  • Portanto a região está para x variando de 0 até 5 e para y entre 0 e y=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+25}}.
  • Queremos o volume do sólido de revolução ao girar essa região em torno do eixo y.

Passo 2

Escolhemos o método dos cascos cilíndricos (método das cascas) porque estamos girando uma região que é naturalmente descrita como y em função de x em torno do eixo y. Vou explicar a fórmula do método e o que cada termo representa.
Fórmula do método das cascas (para rotação em torno do eixo y):
V = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{raio})\cdot(\text{altura}) \, dx.
Aqui:
  • \text{raio} é a distância de um elemento vertical até o eixo de rotação. Como giramos em torno do eixo y, a distância é x.
  • \text{altura} é a altura da casca, isto é, a diferença entre a função superior e a inferior: \text{altura}=y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}=y-0=y.
  • Os limites a e b são 0 e 5, pois a região vai de x=0 até x=5.
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
V = 2\pi \int_{0}^{5} x\cdot y \, dx = 2\pi \int_{0}^{5} x\cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+25}} \, dx = 2\pi \int_{0}^{5} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+25}} \, dx.

Passo 3

Vamos calcular a integral
I=\int_{0}^{5} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+25}} \, dx.
Uma maneira prática é escrever x^{2}=(x^{2}+25)-25. Assim:
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+25}}=\frac{x^{2}+25}{\sqrt{x^{2}+25}}-\frac{25}{\sqrt{x^{2}+25}} =\sqrt{x^{2}+25}-\frac{25}{\sqrt{x^{2}+25}}.
Logo
I=\int_{0}^{5}\sqrt{x^{2}+25}\,dx \;-\;25\int_{0}^{5}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+25}}\,dx.
Definimos I_{1}=\int_{0}^{5}\sqrt{x^{2}+25}\,dx e I_{2}=\int_{0}^{5}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+25}}\,dx. Vamos calcular cada um.

Passo 4

Cálculo de I_{2}. Há uma primitiva conhecida:
\frac{d}{dx}\Big(\ln\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big)\Big)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}.
Podemos verificar rapidamente: derivando \ln(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}) obtemos
\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\Big(1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\Big) =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}.
No nosso caso a^{2}=25 ( a=5), então
I_{2}=\Big[\ln\big(x+\sqrt{x^{2}+25}\big)\Big]_{0}^{5} =\ln\big(5+\sqrt{50}\big)-\ln\big(0+\sqrt{25}\big).
Calculando:
\sqrt{50}=5\sqrt{2},\qquad \sqrt{25}=5,
então
I_{2}=\ln\big(5+5\sqrt{2}\big)-\ln(5)=\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big).

Passo 5

Cálculo de I_{1}=\int_{0}^{5}\sqrt{x^{2}+25}\,dx.
Usamos a primitiva padrão (pode ser obtida por substituição hiperbólica x=5\operatorname{sinh} t ou por partes); a fórmula é
\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\ln\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big)+C.
Verificação rápida por diferenciação confirma que a derivada desta expressão é \sqrt{x^{2}+a^{2}}.
Para a=5,
I_{1}=\left[\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+25}+\frac{25}{2}\ln\big(x+\sqrt{x^{2}+25}\big)\right]_{0}^{5}.
Agora avaliamos em x=5 e x=0.
Em x=5: \sqrt{5^{2}+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}. Assim
\frac{5}{2}\cdot 5\sqrt{2}=\frac{25}{2}\sqrt{2}, \qquad \frac{25}{2}\ln\big(5+5\sqrt{2}\big).
Em x=0: \sqrt{0+25}=5, e o termo \dfrac{x}{2}\sqrt{\cdot} é zero; o log dá \dfrac{25}{2}\ln 5.
Portanto
I_{1}=\frac{25}{2}\sqrt{2}+\frac{25}{2}\ln\big(5+5\sqrt{2}\big)-\frac{25}{2}\ln 5 =\frac{25}{2}\sqrt{2}+\frac{25}{2}\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big).
(Aqui usei \ln(5+5\sqrt{2})-\ln 5=\ln\big((5+5\sqrt{2})/5\big)=\ln(1+\sqrt{2}).)

Passo 6

Agora voltamos para I:
I=I_{1}-25I_{2} =\left(\frac{25}{2}\sqrt{2}+\frac{25}{2}\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big)\right)-25\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big).
Agrupando os termos com log:
\frac{25}{2}\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big)-25\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big) =-\frac{25}{2}\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big).
Então
I=\frac{25}{2}\sqrt{2}-\frac{25}{2}\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big) =\frac{25}{2}\Big(\sqrt{2}-\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big)\Big).

Passo 7

Finalmente o volume é
V=2\pi I =2\pi\cdot\frac{25}{2}\Big(\sqrt{2}-\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big)\Big) =25\pi\Big(\sqrt{2}-\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big)\Big).
É uma expressão exata e adequada para apresentar como resposta final. Força aí — você já tem a expressão pronta para usar na prova!

Resposta

25\pi\!\left(\sqrt{2}-\ln\!\big(1+\sqrt{2}\big)\right)

Exercícios relacionados