Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
y=\frac{1}{(x-1)(4-x)}, \quad y=0, x=2, x=3, \quad eixo- x

Passo 1

Você pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada por
y=\frac{1}{(x-1)(4-x)},\quad y=0,\quad x=2,\quad x=3.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A região em x está entre x=2 e x=3.
  • A curva é y=\dfrac{1}{(x-1)(4-x)}.
  • A região é a parte entre essa curva e a reta y=0 (eixo x), para 2\le x\le3.
  • O sólido é gerado por rotação dessa região em torno do eixo x.

Passo 2

Escolhemos o método dos discos (ou fatias transversais). Explico por quê, devagarinho: ao girar a curva y=f(x) em torno do eixo x, cada fatia perpendicular ao eixo x (ou seja, em x= constante) gera um disco de raio igual à distância vertical do eixo x até a curva, isto é, raio R(x)=f(x). A área do disco é \pi [R(x)]^2. Portanto o volume é a integral das áreas ao longo de x:
V=\pi\int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\,dx.
Aqui a=2, b=3 e f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(4-x)}. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Escrevo a integral do volume:
V=\pi\int_{2}^{3}\left(\frac{1}{(x-1)(4-x)}\right)^{2}dx =\pi\int_{2}^{3}\frac{1}{(x-1)^{2}(4-x)^{2}}\,dx.
Nossa tarefa agora é calcular a integral imprópria (na prática é própria, já que no intervalo dado o denominador é não nulo): \displaystyle\int_{2}^{3}\frac{1}{(x-1)^{2}(4-x)^{2}}dx.

Passo 4

Vou decompor a função racional em frações parciais para integrar facilmente. Como os fatores (x-1) e (4-x) são quadrados, a forma de decomposição é
\frac{1}{(x-1)^{2}(4-x)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{4-x}+\frac{D}{(4-x)^{2}}.
Multiplico ambos os lados por (x-1)^{2}(4-x)^{2} e obtenho a identidade polinomial:
1 = A(x-1)(4-x)^{2} + B(4-x)^{2} + C(4-x)(x-1)^{2} + D(x-1)^{2}.

Passo 5

Determino os coeficientes de forma prática:
  • Substituindo x=1 (onde o termo com A e C ficam nulos por conterem fator x-1), obtemos
1 = B(4-1)^{2} \implies B\cdot 9 = 1 \implies B=\frac{1}{9}.
  • Substituindo x=4, obtemos
1 = D(4-1)^{2} \implies D\cdot 9 = 1 \implies D=\frac{1}{9}.
Agora usamos expansão polinomial para achar A e C. Expando os produtos (mostro os resultados já expandidos):
(x-1)(4-x)^{2}=x^{3}-9x^{2}+24x-16,
(4-x)(x-1)^{2}=-x^{3}+6x^{2}-9x+4,
(4-x)^{2}=x^{2}-8x+16,\qquad (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
Substituindo na identidade e agrupando termos em potências de x, obtemos o sistema de coeficientes. Ao resolvê-lo (substituindo B=D=\tfrac{1}{9}), chegamos a
A=\frac{2}{27},\qquad C=\frac{2}{27}.
Portanto a decomposição final é
\frac{1}{(x-1)^{2}(4-x)^{2}} =\frac{2}{27}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2}} +\frac{2}{27}\cdot\frac{1}{4-x}+\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{(4-x)^{2}}.

Passo 6

Integro termo a termo. Recorde rápido das integrais básicas que vou usar:
  • \displaystyle\int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1|+C.
  • \displaystyle\int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx=-\frac{1}{x-1}+C.
  • \displaystyle\int \frac{1}{4-x}\,dx=-\ln|4-x|+C.
  • \displaystyle\int \frac{1}{(4-x)^{2}}\,dx=\frac{1}{4-x}+C (porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{4-x}\right)=\dfrac{1}{(4-x)^{2}}).
Assim uma primitiva F(x) da integranda é
F(x)=\frac{2}{27}\ln|x-1|-\frac{1}{9(x-1)}-\frac{2}{27}\ln|4-x|+\frac{1}{9(4-x)}.
Podemos juntar os logaritmos:
F(x)=\frac{2}{27}\ln\!\left(\frac{x-1}{4-x}\right)-\frac{1}{9(x-1)}+\frac{1}{9(4-x)}.

Passo 7

Avalio a primitiva entre 2 e 3:
  • Em x=3:
F(3)=\frac{2}{27}\ln 2 -\frac{1}{9\cdot 2}+\frac{1}{9\cdot 1} =\frac{2}{27}\ln 2 -\frac{1}{18}+\frac{1}{9} =\frac{2}{27}\ln 2 +\frac{1}{18}.
  • Em x=2:
F(2)=\frac{2}{27}\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{9\cdot 1}+\frac{1}{9\cdot 2} =-\frac{2}{27}\ln 2 -\frac{1}{9}+\frac{1}{18} =-\frac{2}{27}\ln 2 -\frac{1}{18}.
Agora a integral é F(3)-F(2):
\int_{2}^{3}\frac{1}{(x-1)^{2}(4-x)^{2}}\,dx = \left(\frac{2}{27}\ln 2 +\frac{1}{18}\right)-\left(-\frac{2}{27}\ln 2 -\frac{1}{18}\right) = \frac{4}{27}\ln 2 +\frac{1}{9}.

Passo 8

Multiplico pelo fator \pi que vem da fórmula dos discos para obter o volume:
V=\pi\left(\frac{4}{27}\ln 2 +\frac{1}{9}\right).
Coloco em forma simplificada com denominador comum 27:
V=\frac{\pi}{27}\bigl(4\ln 2 + 3\bigr).

Resposta

\displaystyle V=\frac{\pi}{27}\bigl(4\ln 2 + 3\bigr)

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