Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
eixo-
Passo 1
Você pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A região em
está entre e . - A curva é
. - A região é a parte entre essa curva e a reta
(eixo ), para . - O sólido é gerado por rotação dessa região em torno do eixo
.
Passo 2
Escolhemos o método dos discos (ou fatias transversais). Explico por quê, devagarinho: ao girar a curva
em torno do eixo
, cada fatia perpendicular ao eixo
(ou seja, em
constante) gera um disco de raio igual à distância vertical do eixo
até a curva, isto é, raio
. A área do disco é
. Portanto o volume é a integral das áreas ao longo de
:
Aqui
,
e
. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Escrevo a integral do volume:
Nossa tarefa agora é calcular a integral imprópria (na prática é própria, já que no intervalo dado o denominador é não nulo):
.
Passo 4
Vou decompor a função racional em frações parciais para integrar facilmente. Como os fatores
e
são quadrados, a forma de decomposição é
Multiplico ambos os lados por
e obtenho a identidade polinomial:
Passo 5
Determino os coeficientes de forma prática:
- Substituindo
(onde o termo com e ficam nulos por conterem fator ), obtemos
- Substituindo
, obtemos
Agora usamos expansão polinomial para achar
e
. Expando os produtos (mostro os resultados já expandidos):
Substituindo na identidade e agrupando termos em potências de
, obtemos o sistema de coeficientes. Ao resolvê-lo (substituindo
), chegamos a
Portanto a decomposição final é
Passo 6
Integro termo a termo. Recorde rápido das integrais básicas que vou usar:
-
. -
. -
. -
(porque ).
Assim uma primitiva
da integranda é
Podemos juntar os logaritmos:
Passo 7
Avalio a primitiva entre
e
:
- Em
:
- Em
:
Agora a integral é
:
Passo 8
Multiplico pelo fator
que vem da fórmula dos discos para obter o volume:
Coloco em forma simplificada com denominador comum
: