Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
y=\operatorname{cosh} x, \quad x=-1, \quad x=1, y=0, eixo- x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=\operatorname{cosh} x, x=-1, x=1 e y=0 em torno do eixo x.
Informações dadas e observações úteis:
\text{Curva: } y=\operatorname{cosh} x.
\text{Limites verticais: } x=-1 \text{ e } x=1.
\text{Limite inferior: } y=0.
\text{Eixo de rotação: eixo } x.çã
Observação importante: \operatorname{cosh} x\ge 1 para todo x, então na faixa [-1,1] temos \operatorname{cosh} x>0. Isso significa que, ao rotacionar a região entre \operatorname{cosh} x e y=0 em torno do eixo x, obtemos sólidos formados por discos sem buraco interno (não há “furo” porque a curva não cruza y=0 nessa faixa).

Passo 2

Escolhemos o método dos discos (ou fatias) porque estamos girando uma região em volta do eixo x e a fronteira superior da região é dada por uma função y=f(x) positiva sobre o intervalo [-1,1]. O método dos discos diz que o volume é dado por
V=\pi\int_{a}^{b} [R(x)]^{2}\,dx,
onde R(x) é o raio do disco em cada seção perpendicular ao eixo x, isto é, a distância da curva até o eixo de rotação. Aqui:
R(x)=\operatorname{cosh} x,
e os limites de integração são a=-1 e b=1.

Passo 3

Montamos a integral do volume usando o método dos discos:
V=\pi\int_{-1}^{1} (\operatorname{cosh} x)^{2}\,dx.
Isso vem diretamente de colocar R(x)=\operatorname{cosh} x na fórmula do passo anterior.

Passo 4

Agora precisamos integrar (\operatorname{cosh} x)^{2}. Para isso usamos uma identidade hiperbólica útil. Lembrando as definições
\operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{sinh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},
existe a identidade
\operatorname{cosh}(2x)=2\operatorname{cosh}^{2}x-1.
Dessa identidade isolamos \operatorname{cosh}^{2}x:
\operatorname{cosh}^{2}x=\frac{1+\operatorname{cosh}(2x)}{2}.
Essa mudança é prática porque \operatorname{cosh}(2x) tem antiderivada simples.

Passo 5

Substituímos a identidade na integral:
V=\pi\int_{-1}^{1}\frac{1+\operatorname{cosh}(2x)}{2}\,dx =\pi\int_{-1}^{1}\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh}(2x)\right)\,dx.
Integramos termo a termo. A primitiva de \tfrac{1}{2} é \tfrac{x}{2}. A primitiva de \tfrac{1}{2}\operatorname{cosh}(2x) usa a regra \int \operatorname{cosh}(kx)\,dx=\tfrac{1}{k}\operatorname{sinh}(kx). Assim
\int \tfrac{1}{2}\operatorname{cosh}(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sinh}(2x)=\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}(2x).
Logo uma antiderivada para o integrando é
F(x)=\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}(2x).

Passo 6

Aplicamos os limites de integração de -1 a 1:
V=\pi\left[F(1)-F(-1)\right] =\pi\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}(2)-\big(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}(-2)\big)\right).
Usamos que \operatorname{sinh} é função ímpar, isto é, \operatorname{sinh}(-2)=-\operatorname{sinh}(2). Substituindo:
V=\pi\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}(2)+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}\operatorname{sinh}(2)\right) =\pi\left(1+\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh}(2)\right).
Podemos também escrever de forma equivalente:
V=\pi+\tfrac{\pi}{2}\operatorname{sinh}(2).

Resposta

\displaystyle V=\pi\!\left(1+\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} 2\right)

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