Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
, eixo-
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
,
,
e
em torno do eixo
.
Informações dadas e observações úteis:
Informações dadas e observações úteis:
Observação importante:
para todo
, então na faixa
temos
. Isso significa que, ao rotacionar a região entre
e
em torno do eixo
, obtemos sólidos formados por discos sem buraco interno (não há “furo” porque a curva não cruza
nessa faixa).
Passo 2
Escolhemos o método dos discos (ou fatias) porque estamos girando uma região em volta do eixo
e a fronteira superior da região é dada por uma função
positiva sobre o intervalo
. O método dos discos diz que o volume é dado por
onde
é o raio do disco em cada seção perpendicular ao eixo
, isto é, a distância da curva até o eixo de rotação. Aqui:
e os limites de integração são
e
.
Passo 3
Montamos a integral do volume usando o método dos discos:
Isso vem diretamente de colocar
na fórmula do passo anterior.
Passo 4
Agora precisamos integrar
. Para isso usamos uma identidade hiperbólica útil. Lembrando as definições
existe a identidade
Dessa identidade isolamos
:
Essa mudança é prática porque
tem antiderivada simples.
Passo 5
Substituímos a identidade na integral:
Integramos termo a termo. A primitiva de
é
. A primitiva de
usa a regra
. Assim
Logo uma antiderivada para o integrando é
Passo 6
Aplicamos os limites de integração de
a
:
Usamos que
é função ímpar, isto é,
. Substituindo:
Podemos também escrever de forma equivalente: