Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias e as calcule se posivel: integral-infty^infty d xx^2+2 x+5

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte problema: precisamos analisar se a integral imprópria converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a integração. Observamos que pode ser completado o quadrado. Completar o quadrado significa reescrever uma expressão quadrática na forma .

Passo 3

Completando o quadrado para x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4 :
1x^2 + 2x + 5 = 1(x + 1)^2 + 4
Então, a fração fica:

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral integral dxx^2 + a^2 = 1a arctan(xa) + C tem a forma de uma integral que envolve a função arctangente. A fórmula básica é:
No nosso caso, , então .

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
integral dx(x + 1)^2 + 4 = 12 arctan(x + 12) + C
Como a integral é de a , vamos avaliar os limites.

Passo 6

Vamos calcular o limite quando limx to infty 12 arctan(x + 12) = 12 cdot pi2 = pi4 tende a limx to -infty 12 arctan(x + 12) = 12 cdot (-pi2) = -pi4 e quando tende a :

Passo 7

A diferença entre esses limites dá o valor da integral:
pi4 - (-pi4) = pi2
Isso mostra que a integral converge e seu valor é .

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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