Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região ao redor do eixo
. A região está delimitada pelas curvas
, pelas retas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da região que estamos girando. As retas
e
definem os limites horizontais, e
é o eixo x, enquanto
é a curva acima do eixo x. Então, nossa região está entre
e
, e entre
e
.
Passo 3
Como vamos girar essa região ao redor do eixo
, que é basicamente o mesmo que girar ao redor do eixo x, podemos usar o método dos discos. Esse método envolve cortar o sólido em fatias finas perpendiculares ao eixo de rotação e calcular o volume de cada disco.
Passo 4
Para usar o método dos discos, precisamos da fórmula do volume de um disco:
, onde
é o raio do disco em função de
, e
e
são os limites de integração.
Passo 5
No nosso caso, o raio
é a distância da curva
até o eixo x. Então,
.
Passo 6
Agora, colocamos tudo na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos expandir o integrando para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral completa é:
Passo 9
Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para
Convertendo 10 para sétimos:
Então:
Para
, tudo é zero. Portanto:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.