Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo -x, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: f(x) = x^3 + 1, x = 0, x = 2 e y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região ao redor do eixo -x. A região está delimitada pelas curvas , pelas retas x = 0, x = 2 e y = 0. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da região que estamos girando. As retas x = 0 e x = 2 definem os limites horizontais, e y = 0 é o eixo x, enquanto é a curva acima do eixo x. Então, nossa região está entre x = 0 e x = 2, e entre y = 0 e .

Passo 3

Como vamos girar essa região ao redor do eixo -x, que é basicamente o mesmo que girar ao redor do eixo x, podemos usar o método dos discos. Esse método envolve cortar o sólido em fatias finas perpendiculares ao eixo de rotação e calcular o volume de cada disco.

Passo 4

Para usar o método dos discos, precisamos da fórmula do volume de um disco: , onde R(x) é o raio do disco em função de x, e a e b são os limites de integração.

Passo 5

No nosso caso, o raio R(x) é a distância da curva até o eixo x. Então, .

Passo 6

Agora, colocamos tudo na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos expandir o integrando para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral completa é:

Passo 9

Agora, substituímos os limites de integração:
Para x = 2:
Convertendo 10 para sétimos:
Então:
Para x = 0, tudo é zero. Portanto:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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