Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo -x, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: f(x) = e^x, g(x) = x, x = 0 e x = 1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno do eixo -x, a região limitada pelas curvas , , e pelas retas verticais x = 0 e x = 1. Aqui, vamos usar o método dos discos ou anéis (washers) para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, devemos visualizar a área que será girada. As curvas e se encontram no intervalo de x = 0 a x = 1. Nesse intervalo, e^x está acima de x, então a região limitada está entre essas duas curvas e as linhas verticais x = 0 e x = 1.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo -x, que é paralelo ao eixo x, podemos usar o método dos anéis. A fórmula geral para o volume V usando esse método é:
Onde:
  • f(x) é a função de maior valor (no nosso caso, e^x).
  • g(x) é a função de menor valor (no nosso caso, x).
  • a e b são os limites de integração ( 0 e 1).

Passo 4

Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
Simplificando as potências:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto,

Passo 6

Vamos calcular os valores nas extremidades da integração:
Para x = 1:
Para x = 0:

Passo 7

Subtraindo o valor em x = 0 de x = 1:
Vamos juntar os termos constantes:

Passo 8

Multiplicando pelo pi para obter o volume final:

Resposta

O volume do sólido gerado é:

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