Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas
, pelas retas
,
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites da região que vamos girar. Temos as retas verticais
e
, a curva
e a reta horizontal
.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região:
-
é o eixo . -
é uma parábola que abre para cima. - Precisamos encontrar onde essa parábola cruza o eixo
, ou seja, onde .
Passo 3
Vamos encontrar as raízes da parábola
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Portanto, a parábola cruza o eixo
nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos identificar a região a ser girada. Como temos as retas
e
, vamos considerar apenas a parte da parábola entre
e
, e até a reta
.
Para calcular o volume usando o método dos discos, precisamos integrar a área dos discos formados pela rotação da região em torno do eixo
. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
é a distância do eixo de rotação até a curva
, que no nosso caso é
.
Passo 5
Vamos definir os limites de integração. Sabemos que
e
.
Então, a integral fica:
Agora, precisamos expandir a expressão
para facilitar a integração.
Passo 6
Vamos expandir
:
Agora, nossa integral para o volume fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral resolvida é:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa expressão de
até
:
Para
:
Para
:
Vamos calcular cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, subtraímos o valor de
do valor de
:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação da região dada em torno do eixo
é aproximadamente
unidades cúbicas.