Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo -y, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: f(x) = x^2 + 2x - 3, x = 1, x = 2 e y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas , pelas retas , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente o método dos discos, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites da região que vamos girar. Temos as retas verticais e , a curva e a reta horizontal .
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região:
  • é o eixo .
  • é uma parábola que abre para cima.
  • Precisamos encontrar onde essa parábola cruza o eixo , ou seja, onde .

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da parábola :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Portanto, a parábola cruza o eixo nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos identificar a região a ser girada. Como temos as retas e , vamos considerar apenas a parte da parábola entre e , e até a reta .
Para calcular o volume usando o método dos discos, precisamos integrar a área dos discos formados pela rotação da região em torno do eixo . A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é a distância do eixo de rotação até a curva , que no nosso caso é .

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. Sabemos que e .
Então, a integral fica:
Agora, precisamos expandir a expressão para facilitar a integração.

Passo 6

Vamos expandir :
Agora, nossa integral para o volume fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral resolvida é:

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa expressão de até :
Para :
Para :
Vamos calcular cada parte:
Para :
Para :

Passo 9

Agora, subtraímos o valor de do valor de :
Multiplicando por :
ú

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação da região dada em torno do eixo é aproximadamente unidades cúbicas.

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