Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo -x, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: f(x) = x^2, g(x) = x + 1, x = 0 e x = 1

Passo 1

Entendendo o Problema
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo x. A região delimitada pelas curvas , , e pelas retas x = 0 e x = 1 está sendo girada. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis que envolve cálculo de integrais.

Passo 2

Identificando as Funções e os Limites
As funções que delimitam a região são:
E os limites de integração são as retas verticais:
  • x = 0
  • x = 1
Vamos primeiro identificar qual função está acima da outra no intervalo de x = 0 a x = 1.

Passo 3

Comparando as Funções
Para saber qual função está acima, calculamos seus valores em (por exemplo):
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Configurando a Integral para o Volume
Usaremos o método dos anéis, que calcula o volume como a diferença entre os volumes dos discos formados por cada função.
A fórmula geral para o volume V é:
Onde:

Passo 5

Montando a Integral
Substituindo as funções e os limites na fórmula:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:

Passo 6

Calculando a Integral
Vamos integrar termo a termo:
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar já que vamos calcular o valor definido da integral.
Agora, avaliamos de x = 0 a x = 1:
Simplificando:

Passo 7

Simplificando os Termos
Vamos encontrar um denominador comum para as frações:
Então:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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