Encontre a solução do P.V.I e faça um esboço do gráfico: y'' + 8y' - 9y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial do tipo com condições iniciais y(0) = 0 e . Isso tá relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica e depois usar as condições iniciais pra determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial. A equação diferencial é , então a característica é .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, a = 1, b = 8, e .

Passo 4

Calculando o discriminante:
Como , temos duas raízes reais distintas.

Passo 5

Calculando as raízes:
Portanto:

Passo 6

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais pra encontrar e .
Primeiro, :
Então, .
Segundo, . Vamos achar a derivada:
Aplicando t = 0:
Substituindo :
Então, .

Passo 8

Substituindo os valores de e na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Esse é o gráfico que descreve o comportamento de y(t) ao longo do tempo, mostrando como a função cresce e decai conforme as exponenciais influenciam a solução.

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