Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2} / 4+y^{2}=1 e os planos z= 12-3 x-4 y e z=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Região lateral (projeção no plano xy): a “base” é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}\le 1,
ou seja, uma elipse centrada na origem com semi-eixo em x igual a 2 e semi-eixo em y igual a 1.
  • Superfícies que limitam o sólido verticalmente:
    • plano superior: z=12-3x-4y,
    • plano inferior: z=1.
  • O que se pede: o volume do sólido limitado por essa elipse no plano xy e pelos dois planos z=12-3x-4y e z=1.

Passo 2

Regra que vou usar (explicação didática): o volume entre duas superfícies z=z_{\text{top}}(x,y) e z=z_{\text{bot}}(x,y) sobre uma região D no plano xy é dado pela integral dupla
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy (na prática, dA=dx\,dy em coordenadas cartesianas). A razão é simples: para cada posição (x,y) a espessura do sólido na direção z é z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}; somando (integrando) isso sobre toda a base D obtém-se o volume total.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: D é a elipse \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}\le1, z_{\text{top}}=12-3x-4y e z_{\text{bot}}=1. Logo
V=\iint_{D}\bigl((12-3x-4y)-1\bigr)\,dA=\iint_{D}\bigl(11-3x-4y\bigr)\,dA.

Passo 4

Simplificação usando simetria (explicação didática): note que D é centrada na origem e simétrica em relação aos eixos x e y. Portanto a função x é ímpar em relação à reflexão x\mapsto -x e a função y é ímpar em relação à reflexão y\mapsto -y. Sobre uma região simétrica ao redor da origem, a integral de uma função ímpar é zero. Assim
\iint_{D} x\,dA = 0,\qquad \iint_{D} y\,dA = 0.
(Argumento concreto: para cada ponto (x,y)\in D também está (-x,y)\in D; somando as contribuições x e -x obtém-se cancelamento; mesma ideia para y.)
Portanto a integral do integrando se reduz à parte constante:
V=\iint_{D} 11\,dA = 11\iint_{D} 1\,dA = 11\cdot \text{Área}(D).Á

Passo 5

Cálculo da área da elipse (duas explicações, escolha a mais intuitiva):
Método direto (fórmula conhecida e justificativa curta): a área de uma elipse com semi-eixos a e b é
\text{Área}=\pi a b.Á
Aqui a=2 (no eixo x) e b=1 (no eixo y), logo
\text{Área}(D)=\pi\cdot 2\cdot 1=2\pi.Á
Se quiser ver a justificativa pelo mapa de escala (explicação didática extra): faça a mudança linear
x=2u,\qquad y=v,
que manda o disco unitário u^{2}+v^{2}\le1 para a elipse x^{2}/4+y^{2}\le1. O jacobiano dessa transformação tem determinante |J|=2, então
\text{Área}(D)=\iint_{D}1\,dA=\iint_{u^{2}+v^{2}\le1} 2\,du\,dv=2\cdot \text{Área do disco unitário}=2\cdot \pi = 2\pi.ÁÁá

Passo 6

Concluir o volume multiplicando:
V=11\cdot \text{Área}(D)=11\cdot 2\pi = 22\pi.Á

Resposta

22\pi

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