Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro
e os planos
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Região lateral (projeção no plano
): a “base” é o conjunto de pontos que satisfazem
ou seja, uma elipse centrada na origem com semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
.
- Superfícies que limitam o sólido verticalmente:
- plano superior:
, - plano inferior:
.
- plano superior:
- O que se pede: o volume do sólido limitado por essa elipse no plano
e pelos dois planos e .
Passo 2
Regra que vou usar (explicação didática): o volume entre duas superfícies
e
sobre uma região
no plano
é dado pela integral dupla
Aqui
é o elemento de área no plano
(na prática,
em coordenadas cartesianas). A razão é simples: para cada posição
a espessura do sólido na direção
é
; somando (integrando) isso sobre toda a base
obtém-se o volume total.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
é a elipse
,
e
. Logo
Passo 4
Simplificação usando simetria (explicação didática): note que
é centrada na origem e simétrica em relação aos eixos
e
. Portanto a função
é ímpar em relação à reflexão
e a função
é ímpar em relação à reflexão
. Sobre uma região simétrica ao redor da origem, a integral de uma função ímpar é zero. Assim
(Argumento concreto: para cada ponto
também está
; somando as contribuições
e
obtém-se cancelamento; mesma ideia para
.)
Portanto a integral do integrando se reduz à parte constante:
Passo 5
Cálculo da área da elipse (duas explicações, escolha a mais intuitiva):
Método direto (fórmula conhecida e justificativa curta): a área de uma elipse com semi-eixos
e
é
Aqui
(no eixo
) e
(no eixo
), logo
Se quiser ver a justificativa pelo mapa de escala (explicação didática extra): faça a mudança linear
que manda o disco unitário
para a elipse
. O jacobiano dessa transformação tem determinante
, então
Passo 6
Concluir o volume multiplicando: