Calcule o volume da região determinada pelos planos
e a superfície
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume da região do espaço limitada pelos planos
,
e pela superfície
.
Informações dadas:
- Plano
. - Plano
(ou seja, a superfície onde e são iguais). - Superfície
, que é equivalente à curva cilíndrica (um cilindro de raio com eixo ao longo do eixo ).
O que precisamos encontrar: o volume do sólido que fica entre essas superfícies.
Passo 2
Entender a geometria é crucial antes de integrar.
- A equação
pode ser escrita como . Isso descreve um cilindro de raio cujo eixo é o eixo . Portanto, para cada valor de fixo, a seção no plano é o disco . - Os planos
e cortam esse cilindro e formam um “taco” estendido ao longo do eixo . Para determinar os limites de para um ponto fixo do disco, devemos ver entre quais valores de a condição é satisfeita. - O plano
é a mesma equação que . Assim, para um dado par do disco, varia entre e . Isso só faz sentido (ou seja, dá intervalo não vazio) quando . Se , então e o intervalo entre e estaria “invertido” e não corresponde à região pedida. - Portanto, a projeção do sólido no plano
é a meia-lua (mais precisamente, o semicírculo) correspondente ao disco com . Vamos chamar essa região projetada de :
Passo 3
Montar a integral para o volume usando a projeção
.
- O volume pode ser escrito como integral tripla sobre a região
: - Se integrarmos primeiro em
, para cada ponto temos variando de até . Logo a integral em dá comprimento . - Aplicando Fubini, o volume fica então uma integral dupla sobre
: - Ou seja, precisamos calcular
, onde é o semicírculo unitário com .
Passo 4
Trocar para coordenadas polares no plano
para simplificar a integral.
- No plano
podemos usar coordenadas polares adaptadas: definir com e medindo o ângulo a partir do eixo . - A região
(semicírculo de raio com ) em coordenadas polares corresponde a porque nesse intervalo, garantindo . - O elemento de área é
(este é o jacobiano da mudança para polares).
Passo 5
Escrever a integral em polares e calcular.
- Substituindo
e temos - Simplificando o integrando:
- Podemos separar as integrais porque o integrando é produto de função de
por função de : - Calcular cada integral:
- Multiplicando:
Passo 6
Interpretação final e dica de prova: o resultado
é o volume do “taco” obtido cortando o cilindro
pelo plano
e pelo plano oblíquo
. Na prova, quando uma superfície não depende de uma das variáveis (aqui não depende de
), é muitas vezes eficiente projetar no plano das outras duas variáveis e integrar essa variável isolada primeiro — isso reduz muito a conta.