Calcule o volume da região determinada pelos planos x=0, y=x e a superfície z^{2}=1-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume da região do espaço limitada pelos planos x=0, y=x e pela superfície z^{2}=1-y^{2}.
Informações dadas:
  • Plano x=0.
  • Plano y=x (ou seja, a superfície onde x e y são iguais).
  • Superfície z^{2}=1-y^{2}, que é equivalente à curva cilíndrica y^{2}+z^{2}=1 (um cilindro de raio 1 com eixo ao longo do eixo x).
O que precisamos encontrar: o volume do sólido que fica entre essas superfícies.

Passo 2

Entender a geometria é crucial antes de integrar.
  • A equação z^{2}=1-y^{2} pode ser escrita como y^{2}+z^{2}=1. Isso descreve um cilindro de raio 1 cujo eixo é o eixo x. Portanto, para cada valor de x fixo, a seção no plano yz é o disco y^{2}+z^{2}\le 1.
  • Os planos x=0 e y=x cortam esse cilindro e formam um “taco” estendido ao longo do eixo x. Para determinar os limites de x para um ponto fixo (y,z) do disco, devemos ver entre quais valores de x a condição é satisfeita.
  • O plano y=x é a mesma equação que x=y. Assim, para um dado par (y,z) do disco, x varia entre x=0 e x=y. Isso só faz sentido (ou seja, dá intervalo não vazio) quando y\ge 0. Se y<0, então x=y<0 e o intervalo entre 0 e y estaria “invertido” e não corresponde à região pedida.
  • Portanto, a projeção do sólido no plano yz é a meia-lua (mais precisamente, o semicírculo) correspondente ao disco y^{2}+z^{2}\le 1 com y\ge 0. Vamos chamar essa região projetada de D: D=\{(y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le 1,\; y\ge 0\}.

Passo 3

Montar a integral para o volume usando a projeção D.
  • O volume pode ser escrito como integral tripla sobre a região R: V=\iiint_{R} dV.
  • Se integrarmos primeiro em x, para cada ponto (y,z)\in D temos x variando de 0 até y. Logo a integral em x dá comprimento y-0=y.
  • Aplicando Fubini, o volume fica então uma integral dupla sobre D: V=\iint_{D}\left(\int_{x=0}^{x=y} dx\right)dA=\iint_{D} y\, dA.
  • Ou seja, precisamos calcular \iint_{D} y\, dA, onde D é o semicírculo unitário com y\ge 0.

Passo 4

Trocar para coordenadas polares no plano yz para simplificar a integral.
  • No plano yz podemos usar coordenadas polares adaptadas: definir y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,com r\ge 0 e \theta medindo o ângulo a partir do eixo y.
  • A região D (semicírculo de raio 1 com y\ge 0) em coordenadas polares corresponde a 0\le r\le 1,\qquad -\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2},porque \cos\theta\ge 0 nesse intervalo, garantindo y\ge 0.
  • O elemento de área é dA = r\, dr\, d\theta (este r é o jacobiano da mudança para polares).

Passo 5

Escrever a integral em polares e calcular.
  • Substituindo y=r\cos\theta e dA=r\,dr\,d\theta temos V=\iint_{D} y\, dA=\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} \bigl(r\cos\theta\bigr)\, \bigl(r\,dr\,d\theta\bigr).
  • Simplificando o integrando: V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{1} r^{2}\cos\theta\, dr\, d\theta.
  • Podemos separar as integrais porque o integrando é produto de função de r por função de \theta: V=\left(\int_{0}^{1} r^{2}\, dr\right)\left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\, d\theta\right).
  • Calcular cada integral: \int_{0}^{1} r^{2}\, dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3},
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\, d\theta=\left[\sin\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1-(-1)=2.
  • Multiplicando: V=\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova: o resultado \tfrac{2}{3} é o volume do “taco” obtido cortando o cilindro y^{2}+z^{2}\le1 pelo plano x=0 e pelo plano oblíquo x=y. Na prova, quando uma superfície não depende de uma das variáveis (aqui não depende de x), é muitas vezes eficiente projetar no plano das outras duas variáveis e integrar essa variável isolada primeiro — isso reduz muito a conta.

Resposta

\tfrac{2}{3}

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