Dada a integral \int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{y-y^{2}}}^{\sqrt{y-y^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{y} d z d x d y, encontre os limites para a ordem de integração d z d y d x.

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{y-y^{2}}}^{\sqrt{y-y^{2}}}\int_{x^{2}+y^{2}}^{y} dz\,dx\,dy
e pede para reescrevê-la com a ordem de integração dz\,dy\,dx.
Informações relevantes que já temos:
  • A variável externa original é y com 0\le y\le1.
  • Para cada y fixo, x varia entre -\sqrt{y-y^{2}} e \sqrt{y-y^{2}}.
  • Para cada par (x,y) fixo, z varia entre x^{2}+y^{2} (inferior) e y (superior).
O que precisa ser encontrado: para a ordem dz\,dy\,dx devemos determinar
  • o intervalo de x (limites exteriores, números);
  • para cada x fixo, o intervalo de y (limites em função de x);
  • para cada (x,y) fixo, o intervalo de z (já depende de x,y).

Passo 2

Descrever a região E do espaço em termos de desigualdades. A partir dos limites originais temos as condições
0\le y\le 1,\qquad -\sqrt{y-y^{2}}\le x\le \sqrt{y-y^{2}},\qquad x^{2}+y^{2}\le z\le y.
Da desigualdade para x obtemos a condição de existência do intervalo em x:
x^{2}\le y-y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\le y.
Portanto a região E pode ser escrita como
E=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le1,\; x^{2}+y^{2}\le y,\; x^{2}+y^{2}\le z\le y\}.

Passo 3

Interpretar geometricamente a projeção no plano xy. A desigualdade
x^{2}+y^{2}\le y
pode ser reescrita completando quadrado em y. Fazendo isso:
x^{2}+y^{2}-y\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}\le \tfrac{1}{4}.
Isto mostra que a projeção D de E no plano xy é o disco de centro (0,\tfrac{1}{2}) e raio \tfrac{1}{2}. Em símbolos:
D=\{(x,y)\mid x^{2}+\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}\le \tfrac{1}{4}\}.

Passo 4

Encontrar os limites de y como função de x (para depois colocar x como variável externa). Para um x fixo dentro da projeção, os valores de y satisfazem
\bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}\le \tfrac{1}{4}-x^{2}.
Resolvendo para y obtemos
y-\tfrac{1}{2}\in\left[-\sqrt{\tfrac{1}{4}-x^{2}},\\ \sqrt{\tfrac{1}{4}-x^{2}}\right],
ou seja
y\in\left[\tfrac{1}{2}-\sqrt{\tfrac{1}{4}-x^{2}},\\ \tfrac{1}{2}+\sqrt{\tfrac{1}{4}-x^{2}}\right].
Esses limites só fazem sentido quando o radicando é não negativo, logo
\tfrac{1}{4}-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\le \tfrac{1}{2}.
Portanto x varia em [-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}].

Passo 5

Escrever a integral na ordem dz\,dy\,dx. Mantendo os limites de z para cada (x,y) como dados originalmente e usando os limites de y em função de x encontrados, a integral fica
\int_{x=-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}} \int_{y=\tfrac{1}{2}-\sqrt{\tfrac{1}{4}-x^{2}}}^{\tfrac{1}{2}+\sqrt{\tfrac{1}{4}-x^{2}}} \int_{z=x^{2}+y^{2}}^{y} dz\,dy\,dx.

Resposta

\int_{-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}} \int_{\tfrac{1}{2}-\sqrt{\tfrac{1}{4}-x^{2}}}^{\tfrac{1}{2}+\sqrt{\tfrac{1}{4}-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{y} dz\,dy\,dx

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