Dada a integral
, encontre os limites para a ordem de integração
.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede para reescrevê-la com a ordem de integração
.
Informações relevantes que já temos:
Informações relevantes que já temos:
- A variável externa original é
com . - Para cada
fixo, varia entre e . - Para cada par
fixo, varia entre (inferior) e (superior).
O que precisa ser encontrado: para a ordem
devemos determinar
- o intervalo de
(limites exteriores, números); - para cada
fixo, o intervalo de (limites em função de ); - para cada
fixo, o intervalo de (já depende de ).
Passo 2
Descrever a região
do espaço em termos de desigualdades. A partir dos limites originais temos as condições
Da desigualdade para
obtemos a condição de existência do intervalo em
:
Portanto a região
pode ser escrita como
Passo 3
Interpretar geometricamente a projeção no plano
. A desigualdade
pode ser reescrita completando quadrado em
. Fazendo isso:
Isto mostra que a projeção
de
no plano
é o disco de centro
e raio
. Em símbolos:
Passo 4
Encontrar os limites de
como função de
(para depois colocar
como variável externa). Para um
fixo dentro da projeção, os valores de
satisfazem
Resolvendo para
obtemos
ou seja
Esses limites só fazem sentido quando o radicando é não negativo, logo
Portanto
varia em
.
Passo 5
Escrever a integral na ordem
. Mantendo os limites de
para cada
como dados originalmente e usando os limites de
em função de
encontrados, a integral fica