Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone
abaixo da esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que está limitado por um cone e pela parte debaixo de uma esfera. A matéria que vamos usar é o cálculo de volumes usando coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as formas que estão delimitando o sólido. Temos um cone dado pela equação
e uma esfera dada por
. Nosso objetivo é descobrir onde essas duas superfícies se encontram para definir os limites do nosso volume.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre o cone e a esfera. Substituindo
na equação da esfera:
Isso significa que a interseção ocorre quando
.
Passo 4
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque elas facilitam bastante nesse tipo de problema. Nas coordenadas cilíndricas, temos que
,
e
. A equação do cone vira
e a da esfera fica
.
Passo 5
Para encontrar os limites de integração, notamos que
vai de 0 até 1 (já que
). O ângulo
vai de 0 a
para cobrir toda a volta. Já para
, ele vai do cone
até a esfera. Da equação da esfera, isolando
:
Então,
varia de
a
.
Passo 6
Agora, configuramos a integral tripla para o volume:
Aqui, o
extra na integral é devido ao fator de escala das coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos separar a integral em duas partes:
A primeira parte envolve uma substituição para facilitar a integração.
Passo 9
Para a primeira integral, fazemos
, então
ou
. A integral se torna:
Avaliaremos de 0 a 1:
Então, essa parte é
.
Passo 10
A segunda integral é mais simples:
Passo 11
Subtraindo as duas partes:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido é
.