Seja
um número real e considere a função
dada por
Determine
para que o limite
exista.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo do valor de
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz o limite da função quando
se aproxima de 2 existir. Vamos usar conceitos de limites e funções por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa o limite existir. Para o limite de
quando
tende a 2 existir, o limite pela esquerda (quando
se aproxima de 2 vindo dos menores) e o limite pela direita (vindo dos maiores) devem ser iguais.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando
está um pouquinho menor que 2. A função nessa região é
. Então:
Então, o limite pela esquerda é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando
está um pouquinho maior ou igual a 2. A função nessa parte é
. Assim:
Portanto, o limite pela direita é
.
Passo 5
Para o limite geral existir, os dois limites precisam ser iguais:
Agora, é só resolver para
:
Resposta
O valor de
que faz o limite de
quando
tende a 2 existir é 3.