Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide hiperbólico x^2 - 3y^2 + z = 2 e entre os planos x = -1, x = -2, y = 1 e y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que é limitado por um paraboloide hiperbólico dado pela equação e pelos planos , , e . Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação do paraboloide para encontrar em função de e :
Isso nos dá a “altura” do sólido em cada ponto dentro da região delimitada pelos planos.

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração. Os planos nos dão os intervalos para e :
  • varia de -2 a -1
  • varia de 1 a 2
Então, nossa região de integração é um retângulo nesse intervalo.

Passo 4

Vamos configurar o cálculo do volume usando uma integral dupla. A fórmula geral para o volume é:
Substituindo os limites e a expressão para :

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa em relação a :
Integrando:
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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