Dada a circunferência com raio
,
encontre o vetor curvatura e a curvatura em qualquer
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma circunferência com raio
, e as equações paramétricas são dadas por:
A pergunta quer que a gente encontre o vetor curvatura e a curvatura para qualquer valor de
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente as fórmulas para curvatura de curvas parametrizadas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é curvatura. A curvatura
de uma curva em um ponto mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Para curvas no plano dadas por:
a curvatura é dada por:
Onde
e
são as primeiras derivadas de
e
em relação a
, e
e
são as segundas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias. Começando com as primeiras derivadas de
e
:
Agora, as segundas derivadas:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas, podemos substituir na fórmula da curvatura:
Simplificando o numerador:
E o denominador:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor curvatura. O vetor curvatura aponta na direção da normal à curva e tem magnitude igual à curvatura
. Para curvas no plano, a normal pode ser obtida a partir das derivadas.
Primeiro, encontramos o vetor velocidade:
E o vetor aceleração:
O vetor aceleração já nos dá a direção da normal, e como já calculamos
, o vetor curvatura é:
Resposta
A curvatura é
e o vetor curvatura é
.