Calcule
onde
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
onde a região
é definida por
. Isso significa que
varia de 1 a 2 e
varia de 0 a
. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração iterada, ou seja, integrar primeiro em uma variável e depois na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos decidir a ordem de integração. Vou escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a integral interna:
Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções.
Passo 4
A integração por partes segue a fórmula:
Vamos escolher:
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos a integral restante:
Passo 7
Substituindo isso de volta:
Passo 8
Agora, substituímos a integral interna resolvida na integral externa:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 9
Integrando o primeiro termo:
E o segundo termo:
Essas integrais não possuem antiderivadas elementares, então a resposta será expressa em termos dessas integrais definidas.
Resposta
A integral dupla é igual a