Determine o volume do sólido limitado supe-- Riormente por z=9-x^{2}-y^{2}, e, inferiormente POR z=1+x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado superiormente por
z = 9 - x^{2} - y^{2}
e inferiormente por
z = 1 + x^{2} + y^{2}.
O conteúdo principal é o cálculo de volume por integração dupla e, como as superfícies dependem de x^{2}+y^{2}, vamos usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro determinamos a projeção D do sólido no plano xy. Para isso igualamos as superfícies e exigimos que a parte superior seja maior ou igual à inferior:
9 - x^{2} - y^{2} \;\ge\; 1 + x^{2} + y^{2}
8 \;\ge\; 2\,(x^{2}+y^{2})
x^{2}+y^{2} \;\le\; 4.
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta), isso corresponde ao disco 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

O volume é
V = \iint_{D} \bigl(z_{\text{sup}} - z_{\text{inf}}\bigr)\,dA = \iint_{D} \bigl[(9 - r^{2}) - (1 + r^{2})\bigr]\,dA.
Em coordenadas cilíndricas dA = r\,dr\,d\theta, logo
V = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2} \bigl(8 - 2r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos a integral em r:
\int_{0}^{2} \bigl(8r - 2r^{3}\bigr)\,dr = \left[4r^{2} - \tfrac{1}{2}r^{4}\right]_{0}^{2} = \bigl(4\cdot4 - \tfrac12\cdot16\bigr) = 16 - 8 = 8.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} 8\,d\theta = 8 \times 2\pi = 16\pi.

Resposta

O volume do sólido é 16\pi.

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