Se W l’o sólido limitado por x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, calcule: \iiint_{W-} e^{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}} d x d y d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{W} e^{\sqrt{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3}}}\,dx\,dy\,dz,
onde W é o sólido limitado pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas para aproveitar a simetria esférica.

Passo 2

Note que, escrevendo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, temos
\sqrt{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3}} =\sqrt{r^{6}} =r^{3},
já que r\ge0.

Passo 3

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) vale
dV = r^{2}\sin\theta \,dr\,d\theta\,d\varphi,
com 0\le r\le1, 0\le\theta\le\pi, 0\le\varphi<2\pi.
Logo o integral vira
\iiint_{W} e^{r^{3}}\,r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Podemos separar a parte angular da radial:
\int_{0}^{2\pi}\!d\varphi\;\times\;\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta =2\pi\times2=4\pi.
Fica então
4\pi\int_{0}^{1}e^{r^{3}}\,r^{2}\,dr.

Passo 5

Para avaliar \displaystyle\int_{0}^{1}e^{r^{3}}\,r^{2}\,dr, use u=r^{3}, de modo que du=3r^{2}dr e
r^{2}dr=\frac{du}{3},\quad u(0)=0,\;u(1)=1.
Assim
\int_{0}^{1}e^{r^{3}}\,r^{2}\,dr =\int_{0}^{1}e^{u}\,\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}(e-1).

Resposta

\frac{4\pi}{3}\,(e-1).

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