Um tanque contém 40 litros de solução com 2 gramas de uma dada substância por litro. Água salgada contendo 3 gramas desta substância por litro entra no tanque à razão de 4 litros por minuto, a mistura é homogeneizada e sai do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque após 15 minutos.
Passo 1
O enunciado trata de um problema de mistura em que o volume no tanque permanece constante em
L. A concentração inicial é de
g/L, logo a massa inicial da substância é
g. Entra solução com
g/L à vazão de
L/min e sai mistura à mesma vazão. O conteúdo envolve equação diferencial linear de primeira ordem para modelar a variação da quantidade
de sal no tanque.
Passo 2
Definimos
como a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante
(em minutos). A taxa de entrada de sal é
Como o volume é constante em
L, a concentração no tanque é
g/L e a taxa de saída de sal é
Logo a equação diferencial é
Passo 3
Reescrevendo em forma padrão:
O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados por esse fator e integrando, obtemos a solução geral
e, dividindo por
,
Passo 4
Usamos a condição inicial
. Substituindo em
vem
. Logo
Passo 5
Para
minutos,
Numericamente,
, então
Resposta
A quantidade de sal após 15 minutos é