Um tanque contém 40 litros de solução com 2 gramas de uma dada substância por litro. Água salgada contendo 3 gramas desta substância por litro entra no tanque à razão de 4 litros por minuto, a mistura é homogeneizada e sai do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque após 15 minutos.

Passo 1

O enunciado trata de um problema de mistura em que o volume no tanque permanece constante em 40 L. A concentração inicial é de 2 g/L, logo a massa inicial da substância é 80 g. Entra solução com 3 g/L à vazão de 4 L/min e sai mistura à mesma vazão. O conteúdo envolve equação diferencial linear de primeira ordem para modelar a variação da quantidade A(t) de sal no tanque.

Passo 2

Definimos A(t) como a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante t (em minutos). A taxa de entrada de sal é
\text{entrada} = 3\;\frac{\text{g}}{\text{L}}\times4\;\frac{\text{L}}{\min}=12\;\frac{\text{g}}{\min}.
Como o volume é constante em 40 L, a concentração no tanque é \tfrac{A(t)}{40} g/L e a taxa de saída de sal é
\text{saída}=\frac{A(t)}{40}\;\frac{\text{g}}{\text{L}}\times4\;\frac{\text{L}}{\min}=\frac{A(t)}{10}\;\frac{\text{g}}{\min}.í
Logo a equação diferencial é
\frac{dA}{dt}=12-\frac{A}{10}.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão:
\frac{dA}{dt}+\frac{1}{10}A=12.
O fator integrante é e^{\int\!1/10\,dt}=e^{t/10}. Multiplicando ambos os lados por esse fator e integrando, obtemos a solução geral
A(t)e^{t/10}=\int 12\,e^{t/10}\,dt + C =120\,e^{t/10}+C
e, dividindo por e^{t/10},
A(t)=120 + Ce^{-t/10}.

Passo 4

Usamos a condição inicial A(0)=80. Substituindo em
A(0)=120 + C e^{0}=80
vem C=80-120=-40. Logo
A(t)=120 -40\,e^{-t/10}.

Passo 5

Para t=15 minutos,
A(15)=120 -40\,e^{-15/10} =120 -40\,e^{-1{,}5}.
Numericamente, e^{-1{,}5}\approx0{,}2231, então
A(15)\approx120 -40\times0{,}2231\approx120 -8{,}924\approx111{,}08\\ \text{g}.

Resposta

A quantidade de sal após 15 minutos é
A(15)=120 -40\,e^{-1{,}5}\approx111{,}1\text{ g}.

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