Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
.
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos encontrar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
. O conteúdo é cálculo de volume por rotação de área plana, usando o método dos discos (ou anéis), e vamos precisar usar a fórmula
.
Passo 2
Quando rotacionamos uma faixa vertical para um dado
em torno do eixo
, obtemos um anel de raio externo
e raio interno
. A área da seção transversal é
.
Montamos a expressão do volume como integral definida:
Seja
[V = \pi \int_{0}{2}\bigl(e{2x} - e^{-2x}\bigr),dx.]
Montamos a expressão do volume como integral definida:
Seja
[V = \pi \int_{0}{2}\bigl(e{2x} - e^{-2x}\bigr),dx.]
Passo 3
Calculamos a antiderivada: A antiderivada de
é
e a de
é
. Então
[\int\bigl(e^{2x} - e^{-2x}\bigr),dx = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}.]
[\int\bigl(e^{2x} - e^{-2x}\bigr),dx = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}.]
Passo 4
Avaliamos de
a
:
[\frac{e^{4} + e^{-4}}{2} - \frac{e^{0} + e^{0}}{2} = \frac{e^{4} + e^{-4} - 2}{2}.]
[\frac{e^{4} + e^{-4}}{2} - \frac{e^{0} + e^{0}}{2} = \frac{e^{4} + e^{-4} - 2}{2}.]
Passo 5
Multiplicando por
, chegamos ao volume:
[V = \frac{\pi}{2}\bigl(e^4 + e^{-4} - 2\bigr).]
[V = \frac{\pi}{2}\bigl(e^4 + e^{-4} - 2\bigr).]