Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
A=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 2 e^-x <= y <= e^x.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo Ox do conjunto A=(x,y)inR^2:0<= x<=2,;e^-x<= y<= e^x. O conteúdo é cálculo de volume por rotação de área plana, usando o método dos discos (ou anéis), e vamos precisar usar a fórmula V=piintegral (R^2 - r^2),dx.

Passo 2

Quando rotacionamos uma faixa vertical para um dado x em torno do eixo Ox, obtemos um anel de raio externo R(x)=e^x e raio interno r(x)=e^-x. A área da seção transversal é pil(R(x)^2 - r(x)^2r).
Montamos a expressão do volume como integral definida:
Seja
[V = \pi \int_{0}{2}\bigl(e{2x} - e^{-2x}\bigr),dx.]

Passo 3

Calculamos a antiderivada: A antiderivada de e^2x é tfrace^2x2 e a de e^-2x é -tfrace^-2x2. Então
[\int\bigl(e^{2x} - e^{-2x}\bigr),dx = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}.]

Passo 4

Avaliamos de 0 a 2:
[\frac{e^{4} + e^{-4}}{2} - \frac{e^{0} + e^{0}}{2} = \frac{e^{4} + e^{-4} - 2}{2}.]

Passo 5

Multiplicando por pi, chegamos ao volume:
[V = \frac{\pi}{2}\bigl(e^4 + e^{-4} - 2\bigr).]

Resposta

V = pi2l(e^4 + e^-4 - 2r).

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