Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem que você me enviou. A gente vai trabalhar com um problema de valor inicial, ou seja, além da equação, temos condições específicas para a função e sua derivada no ponto inicial. Aqui, a equação é:
E as condições são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes, que é uma técnica para encontrar soluções de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos seguir passo a passo para achar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = 3 $, então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A solução da equação quadrática $ r^2 + 2r + 3 = 0 $ é dada pela fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2 $, e $ c = 3
\Delta $):
Como o discriminante é negativo ($ \Delta = -8 $), as raízes serão números complexos.
Passo 4
Com o discriminante negativo, as raízes são complexas e podem ser escritas na forma:
Onde:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo $ \alpha = -1 $ e $ \beta = \sqrt{2} $:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Primeiro, aplicamos a condição $ y(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
Agora, precisamos encontrar $ C_2 $. Para isso, derivamos $ y(t) $ e aplicamos $ y’(0) = 1 $.
Primeira derivada de $ y(t) $:
Simplificando:
Agora, aplicamos $ t = 0 $:
Sabemos que $ C_1 = 1 $, então substituímos:
Resposta
Substituindo $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = \sqrt{2} $ na solução geral, temos: