Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial:
l y^prime prime+2 y^prime+3 y=0 y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem que você me enviou. A gente vai trabalhar com um problema de valor inicial, ou seja, além da equação, temos condições específicas para a função e sua derivada no ponto inicial. Aqui, a equação é:
y'' + 2y' + 3y = 0
E as condições são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes, que é uma técnica para encontrar soluções de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos seguir passo a passo para achar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
y'' + a y' + b y = 0
A equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = 3 $, então a equação fica:
a = 2

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A solução da equação quadrática $ r^2 + 2r + 3 = 0 $ é dada pela fórmula de Bhaskara:
r
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2 $, e $ c = 3 r^2 + 2r + 3 = 0 \Delta $):
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Como o discriminante é negativo ($ \Delta = -8 $), as raízes serão números complexos.

Passo 4

Com o discriminante negativo, as raízes são complexas e podem ser escritas na forma:
r = alpha pm beta i
Onde:
alpha = -b2a = -22 cdot 1 = -1
beta = raiz|De
Então, as raízes são:
r = -1 pm raiz2i

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Substituindo $ \alpha = -1 $ e $ \beta = \sqrt{2} $:
alpha = -1
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Primeiro, aplicamos a condição $ y(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
y(0) = 1
Agora, precisamos encontrar $ C_2 $. Para isso, derivamos $ y(t) $ e aplicamos $ y’(0) = 1 $.
Primeira derivada de $ y(t) $:
t = 0
Simplificando:
1 = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) Rightarrow 1 = 1 cdot (C1 cdot 1 + C2 cdot 0) Rightarrow C1 = 1
Agora, aplicamos $ t = 0 $:
C2
Sabemos que $ C_1 = 1 $, então substituímos:
y(t)

Resposta

Substituindo $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = \sqrt{2} $ na solução geral, temos:
C1 = 1

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