Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=e^-x, x=0 e x=1 em torno do eixo x. Faça um esboço da região e um esboço do sólido obtido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y=e^-x, x=0 e x=1. O conteúdo é cálculo de volume por sólidos de revolução, e vamos usar o método dos discos, cuja fórmula geral é
V = pi integrala^b l[R(x)r]^2,dx,
onde R(x) é o raio da seção transversal perpendicular ao eixo de revolução.

Passo 2

Na rotação em torno do eixo x, o raio do disco em cada x é justamente a ordenada da curva, ou seja
R(x)=y=e^-x
Logo o volume é
V = pi integral0^1 (e^-x)^2,dx = pi integral0^1 e^-2x,dx

Passo 3

Calculando a integral:
integral0^1 e^-2x,dx = [-tfrac12e^-2x]0^1 = -tfrac12e^-2 + tfrac12 = tfrac12l(1 - e^-2r)
Portanto
V = pi cdot tfrac12l(1 - e^-2r) = pi2l(1 - e^-2r)

Passo 4

Esboço da região no plano xy: a curva y=e^-x parte de (0,1) e decresce até (1,e^-1), unida às retas verticais x=0 e x=1 e ao eixo x.
Esboço do sólido de revolução: cada seção em x é um disco de raio e^-x, formando um corpo que tem raio máximo 1 em x=0 e vai se estreitando de forma exponencial até e^-1 em x=1.

Resposta

V = pi2l(1 - e^-2r)

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