Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
torno do eixo x. Faça um esboço da região e um esboço do sólido obtido.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
,
e
. O conteúdo é cálculo de volume por sólidos de revolução, e vamos usar o método dos discos, cuja fórmula geral é
onde
é o raio da seção transversal perpendicular ao eixo de revolução.
Passo 2
Na rotação em torno do eixo
, o raio do disco em cada
é justamente a ordenada da curva, ou seja
Logo o volume é
Passo 3
Calculando a integral:
Portanto
Passo 4
Esboço da região no plano
: a curva
parte de
e decresce até
, unida às retas verticais
e
e ao eixo
.
Esboço do sólido de revolução: cada seção em é um disco de raio
, formando um corpo que tem raio máximo
em
e vai se estreitando de forma exponencial até
em
.
Esboço do sólido de revolução: cada seção em