※ Seja
a função
e defina as sequências
e
por
e
.
X(a)Existe
?Explique.
(b)Calcule
,as eas.
(c)
converge?Se convergir,encontre o limite.
(a)Calcule
e
.
(b)
converge?Se convergir,encontre o limite.
(c)
converge?Se convergir,encontre a limite.
(b)Calcule
(c)
(a)Calcule
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define a função
e as sequências
Precisamos responder:
(a) Existe ?
(b) Calcular .
(c) A sequência converge? Se sim, achar o limite.
(d) Calcular .
(e) A sequência converge? Se sim, achar o limite.
(f) A sequência converge? Se sim, achar o limite.
(a) Existe
(b) Calcular
(c) A sequência
(d) Calcular
(e) A sequência
(f) A sequência
Passo 2
Para ver se
existe, note que
é uma função periódica de período
. Aqui o argumento de
cresce sem parar em passo
, então
oscila entre
e
sem se aproximar de um valor fixo. Logo
Passo 3
Calculemos
Dessa fórmula saem
Passo 4
Como
para todo
, a sequência
é constante igual a
. Portanto converge e
Passo 5
Agora
Usando identidade trigonométrica,
Logo para qualquer
,
. Em particular
Passo 6
Como
, a sequência
converge trivialmente para
:
Passo 7
Finalmente, a sequência
vale
que produz o ciclo de valores
por isso não se aproxima de um único valor. Assim
Resposta
(a)
não existe.
(b)
(c) converge e
(d)
(e) converge e
(f) não converge.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)