※ Seja f a função f(x)=cos (pi2 x) e defina as sequências |an| e
|bn| por an=f(2 n) e bn=f(2 n+1)
X(a)Existe lim mu +infty f(x) ?Explique.
(b)Calcule a1, a2, a3 ,as eas.
(c) |alphan| converge?Se convergir,encontre o limite.
(a)Calcule b1, b2, b3, b4 e b5
(b) [bn] converge?Se convergir,encontre o limite.
(c) f(n) converge?Se convergir,encontre a limite.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=cos!l(tfracpi2xr)
e as sequências
an = f(2n), bn = f(2n+1)
Precisamos responder:
(a) Existe limxto+inftyf(x)?
(b) Calcular a1,a2,a3.
(c) A sequência (|an|) converge? Se sim, achar o limite.
(d) Calcular b1,b2,b3,b4,b5.
(e) A sequência (bn) converge? Se sim, achar o limite.
(f) A sequência l(f(n)r) converge? Se sim, achar o limite.

Passo 2

Para ver se limxto+inftyf(x) existe, note que cos é uma função periódica de período 2pi. Aqui o argumento de cos cresce sem parar em passo tfracpi2, então f(x) oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de um valor fixo. Logo
limxto+inftyf(x) não existeã

Passo 3

Calculemos
an = f(2n) = cos!l(tfracpi2cdot 2nr) = cos(pi n) = (-1)^n
Dessa fórmula saem
a1 = (-1)^1 = -1, a2 = (-1)^2 = 1, a3 = (-1)^3 = -1

Passo 4

Como |an| = |(-1)^n| = 1 para todo n, a sequência (|an|) é constante igual a 1. Portanto converge e
limntoinfty|an| = 1

Passo 5

Agora
bn = f(2n+1) = cos!l(tfracpi2(2n+1)r) = cos!l(pi n + tfracpi2r)
Usando identidade trigonométrica,
cos!l(pi n + tfracpi2r) =cos(pi n)costfracpi2-sin(pi n)sintfracpi2 =0-sin(pi n)cdot1=0
Logo para qualquer n, bn=0. Em particular
b1=b2=b3=b4=b5=0

Passo 6

Como bnequiv0, a sequência (bn) converge trivialmente para 0:
limntoinftybn=0

Passo 7

Finalmente, a sequência l(f(n)r) vale
f(n)=cos!l(tfracpi2nr),
que produz o ciclo de valores
1,0,-1,0,1,0,-1,0,dots
por isso não se aproxima de um único valor. Assim
l(f(n)r) não conver>=ã

Resposta

(a) limxto+inftyf(x) não existe.
(b) a1=-1,;a2=1,;a3=-1
(c) (|an|) converge e lim|an|=1
(d) b1=b2=b3=b4=b5=0
(e) (bn) converge e lim bn=0
(f) l(f(n)r) não converge.

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