Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas ao redor dos eixos indicados (esboce o sólido gerado):
A região limitada pela função y=x^{2}-3 x, pelas retas x=-1 e x=1, girando ao redor do eixo x .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do plano limitada pela curva
y = x^2 - 3x,
pelas retas verticais x=-1 e x=1 e pelo próprio eixo x. Isto é um problema de volume por discos (ou “método dos anéis”), pois ao girar em torno de x cada fatia vertical gera um disco de raio igual à distância da curva ao eixo.
Passo 2
Pelo método dos discos, o volume é
V = \pi \int_{x=-1}^{1} \bigl(\text{raio}(x)\bigr)^2 \,dx.
Aqui a distância da curva ao eixo x é \bigl|y\bigr| = \bigl|x^2 - 3x\bigr|. Como vamos elevar ao quadrado, podemos usar diretamente \bigl(x^2 - 3x\bigr)^2.
Passo 3
Escrevendo a integral do volume:
V = \pi \int_{-1}^{1} \bigl(x^2 - 3x\bigr)^2 \,dx.
Passo 4
Expandimos o quadrado:
(x^2 - 3x)^2 = x^4 - 6x^3 + 9x^2.
Logo,
V = \pi \int_{-1}^{1} \bigl(x^4 - 6x^3 + 9x^2\bigr)\,dx.