Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas ao redor dos eixos indicados (esboce o sólido gerado):
A região limitada pela função y=x^{2}-3 x, pelas retas x=-1 e x=1, girando ao redor do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do plano limitada pela curva
y = x^2 - 3x,
pelas retas verticais x=-1 e x=1 e pelo próprio eixo x. Isto é um problema de volume por discos (ou “método dos anéis”), pois ao girar em torno de x cada fatia vertical gera um disco de raio igual à distância da curva ao eixo.

Passo 2

Pelo método dos discos, o volume é
V = \pi \int_{x=-1}^{1} \bigl(\text{raio}(x)\bigr)^2 \,dx.
Aqui a distância da curva ao eixo x é \bigl|y\bigr| = \bigl|x^2 - 3x\bigr|. Como vamos elevar ao quadrado, podemos usar diretamente \bigl(x^2 - 3x\bigr)^2.

Passo 3

Escrevendo a integral do volume:
V = \pi \int_{-1}^{1} \bigl(x^2 - 3x\bigr)^2 \,dx.

Passo 4

Expandimos o quadrado:
(x^2 - 3x)^2 = x^4 - 6x^3 + 9x^2.
Logo,
V = \pi \int_{-1}^{1} \bigl(x^4 - 6x^3 + 9x^2\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a primitiva:
\int \bigl(x^4 - 6x^3 + 9x^2\bigr)\,dx = \frac{x^5}{5} - \frac{6x^4}{4} + \frac{9x^3}{3} = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{2} + 3x^3.
Avaliando de -1 a 1:
\left[\frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{2} + 3x^3\right]_{-1}^{1} = \Bigl(\tfrac{1}{5} - \tfrac{3}{2} + 3\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{5} - \tfrac{3}{2} - 3\Bigr) = \frac{32}{5}.

Passo 6

Multiplicando por \pi, obtemos
V = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{32\pi}{5}.

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