Esboce num mesmo sistema de eixos as funções abaixo e calcule a área da região compreendida entre as curvas:
y=x e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no mesmo sistema de eixos as curvas \,y = x e \,y = x^2 e, em seguida, calcular a área da região limitada por essas duas curvas. O conteúdo aplicado é o de área entre duas curvas via integração, para o qual precisamos encontrar os pontos de interseção e saber qual função está acima da outra.

Passo 2

Para esboçar e achar os pontos de interseção, resolvemos
x = x^2
que é
x^2 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=1.
Logo, as curvas se cruzam em (0,0) e (1,1). No esboço, a parábola \,y=x^2 abre para cima e passa por esses pontos, e a reta \,y=x é uma linha de 45\circ que também passa por eles.

Passo 3

Para determinar qual curva fica acima entre x=0 e x=1, basta testar um valor intermediário, por exemplo x=\tfrac12:
y_{\text{reta}} = \tfrac12, \qquad y_{\text{parábola}} = \bigl(\tfrac12\bigr)^2 = \tfrac14.á
Como \tfrac12>\tfrac14, a reta \,y=x está acima da parábola \,y=x^2 no intervalo [0,1].

Passo 4

A área desejada é
A = \int_{0}^{1} \bigl(\underbrace{x}_{\text{reta}} \;-\;\underbrace{x^2}_{\text{parábola}}\bigr)\,dx.á
Calculando,
A = \int_{0}^{1} \bigl(x - x^2\bigr)\,dx = \left[\tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \Bigl(\tfrac12 - \tfrac13\Bigr) - 0 = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6}.

Resposta

A área da região compreendida entre as curvas é \displaystyle \tfrac{1}{6}.

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