Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno a reta indicada, da região limitada pelas seguintes curvas:
y=2 x-x^2; a reta y=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y=2x - x^2 e pela reta y=0 em torno de y=0 (o eixo x).
Conteúdo: método dos discos (ou cilindros de raio variável). Para isso precisamos:
  1. Determinar os limites em x onde a região toca y=0.
  2. Escrever a fórmula do volume como
V = pi integralx=a^x=b l(f(x)r)^2 ,dx

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção de y=2x - x^2 com y=0.
Resolvendo
2x - x^2 = 0
x(2 - x) = 0
vem x=0 ou x=2.

Passo 3

Pela definição do método dos discos, o volume é
V = pi integral0^2 l(2x - x^2r)^2 ,dx

Passo 4

Expandindo e integrando:
(2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4,
integral0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4),dx = l[tfrac4x^33 - x^4 + tfracx^55r]0^2 = 323 - 16 + 325 = 1615
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V = pi cdot 1615 = 16pi15

Resposta

16pi15

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