Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno a reta indicada, da região limitada pelas seguintes curvas:
; a reta
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta
, a região do plano limitada pelas curvas
(parábola) e
(reta horizontal).
Conteúdo: cálculo de volume de revolução pelo método dos discos (ou anéis), usando distâncias verticais até o eixo de rotação.
Conteúdo: cálculo de volume de revolução pelo método dos discos (ou anéis), usando distâncias verticais até o eixo de rotação.
Passo 2
Primeiro determinamos os limites em
. A interseção entre
e
satisfaz
Cada fatia vertical em
gera um anel ao rodar em torno de
. O raio externo
é a distância do eixo
até a curva inferior
, ou seja
e o raio interno é zero (pois a região toca o eixo).
Passo 3
Montamos a integral do volume pelo método dos discos:
Expandindo o integrando:
Passo 4
Calculamos a integral, lembrando que é função par em
e usamos simetria:
com
.
Integramos termo a termo:
Integramos termo a termo:
Calculando potências de
:
,
. Então
Colocando em comum denominador
:
logo o valor da integral é
Passo 5
Multiplicando por
, obtemos o volume final: