Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno a reta indicada, da região limitada pelas seguintes curvas:
y=4 x^2, y=2; a reta y=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta y=2, a região do plano limitada pelas curvas y=4x^2 (parábola) e y=2 (reta horizontal).
Conteúdo: cálculo de volume de revolução pelo método dos discos (ou anéis), usando distâncias verticais até o eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro determinamos os limites em x. A interseção entre y=4x^2 e y=2 satisfaz
4x^2=2 Longrightarrow x^2=tfrac12 Longrightarrow x=pmtfrac1raiz2
Cada fatia vertical em x gera um anel ao rodar em torno de y=2. O raio externo R(x) é a distância do eixo y=2 até a curva inferior y=4x^2, ou seja
R(x)=2-4x^2,
e o raio interno é zero (pois a região toca o eixo).

Passo 3

Montamos a integral do volume pelo método dos discos:
V = pi integralx=-1/raiz2^1/raiz2 l[R(x)r]^2 ,dx = pi integral-1/raiz2^1/raiz2 l(2-4x^2r)^2 ,dx
Expandindo o integrando:
l(2-4x^2r)^2 =4l(1-2x^2r)^2 =4l(1-4x^2+4x^4r) =4-16x^2+16x^4

Passo 4

Calculamos a integral, lembrando que é função par em x e usamos simetria:
integral-a^a(4-16x^2+16x^4),dx =2integral0^a(4-16x^2+16x^4),dx,
com a=1/raiz2.
Integramos termo a termo:
2l[4x-tfrac16x^33+tfrac16x^55r]0^1/raiz2 =2l(4cdottfrac1raiz2-tfrac163cdottfrac1( raiz2)^3+tfrac165cdottfrac1(raiz2)^5r)
Calculando potências de raiz2: (raiz2)^3=2raiz2, (raiz2)^5=4raiz2. Então
2l(tfrac4raiz2-tfrac163cdot2raiz2+tfrac165cdot4raiz2r) =2l(tfrac4raiz2-tfrac83raiz2+tfrac45raiz2r) =2cdottfrac1raiz2l(4-tfrac83+tfrac45r)
Colocando em comum denominador 15:
4-tfrac83+tfrac45 =tfrac60-40+1215 =tfrac3215,
logo o valor da integral é
2cdottfrac1raiz2cdottfrac3215 =tfrac6415raiz2 =tfrac64raiz215cdot2 =tfrac32raiz215

Passo 5

Multiplicando por pi, obtemos o volume final:
V =picdottfrac32raiz215 =tfrac32raiz2pi15

Resposta

V = 32raiz2pi15

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