Determine o volume do sólido S tal que:
Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
y=1x ; x=1 ; x=2 ; y=0, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região em (x,y) limitada por y=1/x, x=1, x=2 e y=0. O conteúdo é cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método das seções transversais (discos).

Passo 2

Para cada x em [1,2], a seção transversal perpendicular ao eixo x é um disco de raio r(x)=y(x)=1/x. A área desse disco é
A(x)=pil(r(x)r)^2=pi1x^2

Passo 3

O volume do sólido é a integral dessas áreas ao longo de x de 1 a 2. Assim
V=integral1^2A(x),dx=piintegral1^21x^2,dx
Aqui usamos que integral x^-2,dx=-x^-1+C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral:
V=pil[-1xr]1^2=pil(-12+1r)=pi2

Resposta

O volume do sólido é V=dfracpi2.

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