Dada a função f(x)=x^2+(k-1) x-k, calcule k de modo que:
a) A função tenha raízes reais
b) A função tenha raízes complexas

Passo 1

O enunciado dá a função de segundo grau
f(x)=x^2+(k-1)x-k
e pede os valores de k para que as raízes sejam reais ou complexas. Vamos usar o critério do discriminante de uma equação quadrática.

Passo 2

Para a equação ax^2+bx+c=0 temos a=1, b=k-1, c=-k. O discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = (k-1)^2 - 4cdot1cdot(-k)
Desenvolvendo,
De<a = k^2 - 2k + 1 + 4k = k^2 + 2k +1 = (k+1)^2

Passo 3

As raízes são reais quando De<a>=0. Como
De<a = (k+1)^2>=0
para todo kinR, concluímos que todas as funções têm raízes reais para qualquer valor real de k.

Passo 4

As raízes são complexas (não reais) quando De<a<0. Mas
(k+1)^2<0
não ocorre para nenhum número real k. Portanto não existe valor de k que torne as raízes complexas.

Resposta

a) Para todo kinR as raízes são reais.
b) Não existe valor real de k que gere raízes complexas.

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