Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo (y), das regiões limitadas pelas retas e curvas.
A regiāo delimitada por
x=\sqrt{5} y^{2}, \quad x=0, \quad y=-1, \quad y=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno do eixo y, a região do plano limitada por:
x=\sqrt{5}\,y^{2},\qquad x=0,\qquad y=-1,\qquad y=1.
As perguntas a responder são:
  • Qual é o volume do sólido gerado por essa rotação?
Informações dadas:
  • A fronteira direita da região é x=\sqrt{5}\,y^{2}.
  • A fronteira esquerda é x=0 (ou seja, o próprio eixo y).
  • O intervalo em y é de y=-1 até y=1.

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática):
  • Quando se rotaciona uma região em torno do eixo y e a curva é dada como x em função de y (aqui x=f(y)), o método das fatias perpendiculares ao eixo de rotação — também chamado de método dos discos/rodas — é o mais direto.
  • Ideia do método dos discos: tomar uma fatia horizontal da região, de espessura dy, localizada em uma certa altura y. Ao girar essa fatia em torno do eixo y ela gera um disco (círculo sólido) cujo raio é a distância do eixo y até a curva mais afastada em x. A área desse disco é \pi R(y)^2 e o volume de uma fatia é aproximadamente \pi R(y)^2\,dy. Somando (integrando) essas fatias de y=-1 até y=1 obtemos o volume total:
V=\int_{y=-1}^{1}\pi\bigl(R(y)\bigr)^{2}\,dy.
  • Aqui R(y) é simplesmente a coordenada x da fronteira direita, porque a fronteira esquerda é x=0 (o eixo).
Observação rápida: também daria para usar o método das cascas cilíndricas (shells) integrando em x, mas exigiría inverter limites ou mais trabalho. O método dos discos é direto porque temos x em função de y.

Passo 3

Identificar o raio do disco e montar a integral:
  • O raio do disco em altura y é
R(y)=\sqrt{5}\,y^{2}.
  • Logo a integral do volume é
V=\int_{y=-1}^{1}\pi\bigl(\sqrt{5}\,y^{2}\bigr)^{2}\,dy.

Passo 4

Simplificar o integrando e preparar para integrar:
  • Calcular o quadrado do raio:
\bigl(\sqrt{5}\,y^{2}\bigr)^{2}=5\,y^{4}.
  • Substituindo na integral:
V=\int_{-1}^{1}\pi\cdot 5\,y^{4}\,dy=5\pi\int_{-1}^{1}y^{4}\,dy.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
  • A primitiva de y^{4} é \dfrac{y^{5}}{5}. Portanto,
\int_{-1}^{1}y^{4}\,dy=\left[\dfrac{y^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}=\dfrac{1^{5}}{5}-\dfrac{(-1)^{5}}{5}=\dfrac{1-(-1)}{5}=\dfrac{2}{5}.
  • Multiplicando por 5\pi:
V=5\pi\cdot \dfrac{2}{5}=2\pi.
Pequena observação didática: poderia-se também reconhecer que y^{4} é função par, então \int_{-1}^{1}y^{4}\,dy=2\int_{0}^{1}y^{4}\,dy=2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}, o que dá o mesmo resultado mais rápido em prova.

Resposta

2\pi

Exercícios relacionados