Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo (y), das regiões limitadas pelas retas e curvas.
A regiāo delimitada por
A regiāo delimitada por
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno do eixo
, a região do plano limitada por:
As perguntas a responder são:
- Qual é o volume do sólido gerado por essa rotação?
Informações dadas:
- A fronteira direita da região é
. - A fronteira esquerda é
(ou seja, o próprio eixo ). - O intervalo em
é de até .
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática):
- Quando se rotaciona uma região em torno do eixo
e a curva é dada como em função de (aqui ), o método das fatias perpendiculares ao eixo de rotação — também chamado de método dos discos/rodas — é o mais direto. - Ideia do método dos discos: tomar uma fatia horizontal da região, de espessura
, localizada em uma certa altura . Ao girar essa fatia em torno do eixo ela gera um disco (círculo sólido) cujo raio é a distância do eixo até a curva mais afastada em . A área desse disco é e o volume de uma fatia é aproximadamente . Somando (integrando) essas fatias de até obtemos o volume total:
- Aqui
é simplesmente a coordenada da fronteira direita, porque a fronteira esquerda é (o eixo).
Observação rápida: também daria para usar o método das cascas cilíndricas (shells) integrando em
, mas exigiría inverter limites ou mais trabalho. O método dos discos é direto porque temos
em função de
.
Passo 3
Identificar o raio do disco e montar a integral:
- O raio do disco em altura
é
- Logo a integral do volume é
Passo 4
Simplificar o integrando e preparar para integrar:
- Calcular o quadrado do raio:
- Substituindo na integral:
Passo 5
Calcular a integral passo a passo:
- A primitiva de
é . Portanto,
- Multiplicando por
:
Pequena observação didática: poderia-se também reconhecer que
é função par, então
, o que dá o mesmo resultado mais rápido em prova.