1. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x+2 y+z=2, x=2 y, x=0, z=0.
  2. Resolva
\int_{0}^{2} \int_{x / 2}^{1} \cos \left(y^{2}\right) d y d x

Passo 1

Vou identificar claramente o que cada item pede e listar todas as informações dadas.
Para o item 11:
  • Pergunta: Determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos \,x+2y+z=2,\; x=2y,\; x=0,\; z=0\,.
  • Dados: as quatro superfícies que formam as faces do tetraedro são P_1:\; x+2y+z=2,\qquad P_2:\; x=2y,\qquad P_3:\; x=0,\qquad P_4:\; z=0.
Para o item 12:
  • Pergunta: Calcular a integral iterada \int_{0}^{2}\int_{x/2}^{1}\cos\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
  • Dados: integração sobre a região do plano xy definida por 0\le x\le2 e \,x/2\le y\le1, integrando \cos(y^2).

Passo 2

Começo resolvendo o item 11. Primeiro vamos encontrar os vértices do tetraedro — interseções das triplas de planos — porque isso ajuda a visualizar a região.
Resolverei sistemas de três equações escolhendo triplas de P_1,P_2,P_3,P_4.
  • Interseção de P_1,P_3,P_4: pôr x=0 e z=0 em P_1 0+2y+0=2\Rightarrow y=1. Vértice A=(0,1,0).
  • Interseção de P_1,P_2,P_4: pôr z=0 e x=2y em P_1 2y+2y=2\Rightarrow y=\tfrac12,\; x=1. Vértice B=(1,\tfrac12,0).
  • Interseção de P_2,P_3,P_4: pôr x=0 e x=2y y=0 e com z=0 obtemos C=(0,0,0).
  • Interseção de P_1,P_2,P_3: pôr x=0 e x=2y implica y=0; em P_1 então z=2. Vértice D=(0,0,2).
Assim os quatro vértices do tetraedro são
A=(0,1,0),\quad B=\bigl(1,\tfrac12,0\bigr),\quad C=(0,0,0),\quad D=(0,0,2).

Passo 3

Vou projetar o tetraedro sobre o plano z=0 (plano xy). A face no plano z=0 é o triângulo com vértices C=(0,0,0),\;B=(1,\tfrac12,0),\;A=(0,1,0). A superfície oblíqua P_1 dá a cota superior em z: a altura do sólido acima de cada ponto (x,y) do triângulo de base é
z_{\text{superior}}=2-x-2y
porque de P_1 temos z=2-x-2y. A face inferior é z=0.
Logo o volume pode ser calculado pela integral dupla sobre a região projetada R no plano xy:
V=\iint_{R}\bigl(2-x-2y\bigr)\,dA.

Passo 4

Agora descrevo a região R no plano xy. Pelas faces verticais temos x=0 e x=2y, e pela interseção com z=0 temos x+2y=2. Então R é o triângulo limitado por as retas
x=0,\qquad x=2y\quad(\text{ou }y=\tfrac{x}{2}),\qquad x+2y=2\quad(\text{ou }y=1-\tfrac{x}{2}).
Para parametrizar convenientemente, tomo x variando de 0 a 1 (pois a interseção de x=2y com x+2y=2 x=1), e para cada x o y varia de y=\tfrac{x}{2} até y=1-\tfrac{x}{2}. Assim
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\; \tfrac{x}{2}\le y\le 1-\tfrac{x}{2}\}.

Passo 5

Montamos a integral iterada para o volume:
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=x/2}^{\,1-x/2}\bigl(2-x-2y\bigr)\,dy\,dx.
Agora calculo a integral interna em y. Primeiro calcule
\int\bigl(2-x-2y\bigr)\,dy=(2-x)\,y - y^{2},
pois a primitiva de 2-x em relação a y é (2-x)y (tratando x como constante) e a primitiva de -2y é -y^{2}.
Avalio entre y=\tfrac{x}{2} e y=1-\tfrac{x}{2}:
\bigl[(2-x)y-y^{2}\bigr]_{y=\tfrac{x}{2}}^{\,y=1-\tfrac{x}{2}}.

Passo 6

Faço a avaliação passo a passo (não pulei etapas):
Primeiro em y=1-\tfrac{x}{2}:
(2-x)\Bigl(1-\tfrac{x}{2}\Bigr)-\Bigl(1-\tfrac{x}{2}\Bigr)^{2}.
Expandindo:
(2-x)\Bigl(1-\tfrac{x}{2}\Bigr)=2-2x+\tfrac{x^{2}}{2}, \qquad \Bigl(1-\tfrac{x}{2}\Bigr)^{2}=1-x+\tfrac{x^{2}}{4}.
Subtraindo obtemos
\bigl[(2-x)y-y^{2}\bigr]_{y=1-\tfrac{x}{2}}=1-x+\tfrac{x^{2}}{4}.
Agora em y=\tfrac{x}{2}:
(2-x)\cdot\tfrac{x}{2}-\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)^{2} =\tfrac{x(2-x)}{2}-\tfrac{x^{2}}{4} = x-\tfrac{3x^{2}}{4}.
A diferença (valor superior menos inferior) é
\Bigl(1-x+\tfrac{x^{2}}{4}\Bigr)-\Bigl(x-\tfrac{3x^{2}}{4}\Bigr) =1-2x+x^{2}=(1-x)^{2}.
Portanto a integral em y reduz-se a (1-x)^{2}.

Passo 7

Agora integro em x:
V=\int_{0}^{1}(1-x)^{2}\,dx.
Calculo a primitiva: \int(1-x)^{2}\,dx=\int(1-2x+x^{2})\,dx = x - x^{2} + \tfrac{x^{3}}{3}.
Avalio de 0 a 1:
\Bigl[x - x^{2} + \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1}=1-1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}.
Assim a integral dá \tfrac{1}{3} (este é o valor do volume calculado).

Passo 8

Agora resolvo o item 12. Primeiro entendo geometricamente a região de integração para poder trocar a ordem (isto geralmente simplifica porque \cos(y^{2}) não tem primitiva elementar em y, mas é fácil quando aparece multiplicada por algo que permita substituição).
A região R dada é
0\le x\le2,\qquad \tfrac{x}{2}\le y\le1.
Em termos de desigualdades equivalentes: 0\le x\le2 e y\ge \tfrac{x}{2} com y\le1. Para trocar a ordem, descrevo R com y externo: y varia de 0 até 1 (quando x=0, y pode ser 0; quando y=1, ainda faz sentido), e para dado y o x varia de x=0 até a reta x=2y (porque x\le 2y é equivalente a y\ge x/2). Observação: para y\in[0,1] temos 2y\le2, então a restrição x\le2 não é ativa além de x\le2y. Assim a descrição invertida é
0\le y\le1,\qquad 0\le x\le 2y.

Passo 9

Troco a ordem de integração na integral do item 12:
\int_{0}^{2}\int_{x/2}^{1}\cos\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{2y}\cos\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Dentro da integral interna \cos(y^{2}) é constante em x, logo a integração em x é simples:
\int_{x=0}^{2y}\cos\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dx = \cos\!\bigl(y^{2}\bigr)\cdot(2y).
Logo a integral reduz-se a
\int_{0}^{1}2y\cos\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 10

Faço a substituição clássica para integrar 2y\cos(y^{2}): ponho u=y^{2}. Então du=2y\,dy. Quando y vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. A integral transforma-se em
\int_{0}^{1}\cos(u)\,du.
A primitiva de \cos(u) é \sin(u), portanto
\int_{0}^{1}\cos(u)\,du=\sin(1)-\sin(0)=\sin(1).
Logo o valor da integral do item 12 é \sin(1) (em radianos).

Resposta

  1. \tfrac{1}{3}\n12. \sin(1)

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