- Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos
.
- Resolva
Passo 1
Vou identificar claramente o que cada item pede e listar todas as informações dadas.
Para o item 11:
- Pergunta: Determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos
. - Dados: as quatro superfícies que formam as faces do tetraedro são
Para o item 12:
- Pergunta: Calcular a integral iterada
- Dados: integração sobre a região do plano
definida por e , integrando .
Passo 2
Começo resolvendo o item 11. Primeiro vamos encontrar os vértices do tetraedro — interseções das triplas de planos — porque isso ajuda a visualizar a região.
Resolverei sistemas de três equações escolhendo triplas de
.
- Interseção de
: pôr e em dá . Vértice . - Interseção de
: pôr e em dá . Vértice . - Interseção de
: pôr e dá e com obtemos . - Interseção de
: pôr e implica ; em então . Vértice .
Assim os quatro vértices do tetraedro são
Passo 3
Vou projetar o tetraedro sobre o plano
(plano
). A face no plano
é o triângulo com vértices
. A superfície oblíqua
dá a cota superior em
: a altura do sólido acima de cada ponto
do triângulo de base é
porque de
temos
. A face inferior é
.
Logo o volume pode ser calculado pela integral dupla sobre a região projetada
no plano
:
Passo 4
Agora descrevo a região
no plano
. Pelas faces verticais temos
e
, e pela interseção com
temos
. Então
é o triângulo limitado por as retas
Para parametrizar convenientemente, tomo
variando de
a
(pois a interseção de
com
dá
), e para cada
o
varia de
até
. Assim
Passo 5
Montamos a integral iterada para o volume:
Agora calculo a integral interna em
. Primeiro calcule
pois a primitiva de
em relação a
é
(tratando
como constante) e a primitiva de
é
.
Avalio entre
e
:
Passo 6
Faço a avaliação passo a passo (não pulei etapas):
Primeiro em
:
Expandindo:
Subtraindo obtemos
Agora em
:
A diferença (valor superior menos inferior) é
Portanto a integral em
reduz-se a
.
Passo 7
Agora integro em
:
Calculo a primitiva:
.
Avalio de a
:
Avalio de
Assim a integral dá
(este é o valor do volume calculado).
Passo 8
Agora resolvo o item 12. Primeiro entendo geometricamente a região de integração para poder trocar a ordem (isto geralmente simplifica porque
não tem primitiva elementar em
, mas é fácil quando aparece multiplicada por algo que permita substituição).
A região
dada é
Em termos de desigualdades equivalentes:
e
com
. Para trocar a ordem, descrevo
com
externo:
varia de
até
(quando
,
pode ser 0; quando
, ainda faz sentido), e para dado
o
varia de
até a reta
(porque
é equivalente a
). Observação: para
temos
, então a restrição
não é ativa além de
. Assim a descrição invertida é
Passo 9
Troco a ordem de integração na integral do item 12:
Dentro da integral interna
é constante em
, logo a integração em
é simples:
Logo a integral reduz-se a
Passo 10
Faço a substituição clássica para integrar
: ponho
. Então
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. A integral transforma-se em
A primitiva de
é
, portanto
Logo o valor da integral do item 12 é
(em radianos).
Resposta
-
\n12.