Qual é a pressão p_{1} necessária para descarregar uma vazão de 9,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} do tanque mostrado abaixo? Dados: \rho_{\text {gasolina }}=680 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. RESP.: 36,1 \mathrm{KPa}

Passo 1

O enunciado pede: qual é a pressão \,p_{1} aplicada no ar do topo do tanque necessária para descarregar uma vazão de \,9,2\\ \mathrm{m^{3}/h} pelo orifício mostrado. Dados fornecidos e relevantes (retirei-os da figura e do enunciado):
  • Vazão: \,Q=9{,}2\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Diâmetro do orifício: \,\varphi=18{,}3\\ \mathrm{mm}.
  • Densidade da gasolina: \,\rho_{\text{gasolina}}=680\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Água salgada com \text{SG}=1{,}1 \,\rho_{\text{sal}}=1{,}1\cdot 1000=1100\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Espessura da camada de gasolina (do topo até a interface): \,h_{g}=0{,}61\\ \mathrm{m} (peguei da figura).
  • Espessura do trecho de água salgada até o orifício: \,h_{s}=1{,}10\\ \mathrm{m} (peguei da figura).
  • A saída descarrega para a atmosfera (pressão externa \,p_{atm}).
    O objetivo é calcular \,p_{1} (pressão do ar no topo, relativa à atmosfera). Não foi dado coeficiente de descarga, então usaremos o caso ideal (sem perdas, C_d=1); isso é consistente com o resultado pedido.

Passo 2

Converter a vazão para \mathrm{m^{3}/s}:
Q=\frac{9{,}2}{3600}=0{,}0025556\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Calcular a área do orifício e a velocidade do jato (assumindo que a área do orifício é a área de escoamento):
d=18{,}3\\ \mathrm{mm}=0{,}0183\\ \mathrm{m},
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}0183)^{2}}{4}=0{,}00026295\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}).
Velocidade média do jato:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}0025556}{0{,}00026295}\approx 9{,}72\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Montar o balanço de energia (Bernoulli) e a relação entre \,p_{1} e a vazão. Explicação didática:
  • A pressão no interior do orifício (no fluido que sai, água salgada) é a pressão do ar no topo transmitida pelas colunas de fluido; portanto a pressão absoluta no nível do orifício, internamente, é
p_{\text{int}}=p_{1}+\rho_{\text{gasolina}} g h_{g}+\rho_{\text{sal}} g h_{s},
pois ao descer da superfície do líquido até o orifício somamos as pressões hidrostáticas das duas camadas.
  • Aplicamos Bernoulli entre um ponto imediatamente dentro do orifício (o mesmo nível do orifício) e o jato fora do tanque (mesmo nível), desprezando perdas e diferenças de elevação entre esses pontos. Fora está à pressão atmosférica \,p_{atm} e velocidade v. Dentro, a pressão é p_{\text{int}} e a velocidade também é v (o escoamento passa rapidamente pela garganta, a velocidade dentro do orifício é a do jato).
  • A forma reduzida de Bernoulli (mesma elevação, mesmas velocidades) leva a
p_{\text{int}}+\tfrac{1}{2}\rho_{\text{sal}} v^{2}=p_{atm}+\tfrac{1}{2}\rho_{\text{sal}} v^{2}.
Cancelando os termos cinéticos (mesma densidade no trecho que está saindo e no interior do orifício) e isolando p_{1} obtemos, incluindo explicitamente os termos:
p_{1}=p_{atm}-\rho_{\text{gasolina}} g h_{g}-\rho_{\text{sal}} g h_{s}+\tfrac{1}{2}\rho_{\text{sal}} v^{2}.
  • Como normalmente queremos a pressão relativa ao ambiente (ou seja, o valor do manômetro mostrado), definimos a pressão manométrica necessária:
p_{1,\text{gauge}}=p_{1}-p_{atm}=-\rho_{\text{gasolina}} g h_{g}-\rho_{\text{sal}} g h_{s}+\tfrac{1}{2}\rho_{\text{sal}} v^{2}.
Interpretação intuitiva: a primeira parte (negativa) é a “sobra” de coluna hidrostática que empurra o fluido para fora; o termo \tfrac{1}{2}\rho v^{2} é a pressão dinâmica necessária para acelerar o fluido à velocidade desejada. Se a energia hidrostática é suficiente, p_{1} poderia ser menor que atmosférica; aqui o termo dinâmico domina e p_{1} fica positivo.

Passo 5

Calcular numericamente cada termo (usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}):
Hidrostático devido à gasolina:
\rho_{\text{gasolina}} g h_{g}=680\cdot 9{,}81\cdot 0{,}61=4\,069{,}99\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 4{,}07\\ \mathrm{kPa}).
Hidrostático devido à água salgada:
\rho_{\text{sal}} g h_{s}=1100\cdot 9{,}81\cdot 1{,}10=11\,870{,}1\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 11{,}87\\ \mathrm{kPa}).
Termo dinâmico:
\tfrac{1}{2}\rho_{\text{sal}} v^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 1100\cdot (9{,}72)^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot 1100\cdot 94{,}4784 =51\,962{,}1\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 51{,}96\\ \mathrm{kPa}).
Agora montar p_{1,\text{gauge}}:
p_{1,\text{gauge}}=51\,962{,}1 - 4\,069{,}99 - 11\,870{,}1 =35\, ( \text{calc.} )\\ :\\\ 51\,962{,}1 - 15\,940{,}09 =36\,022{,}01\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando:
p_{1,\text{gauge}}\approx 36\,020\\ \mathrm{Pa}\approx 36{,}0\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Comentário final e verificação rápida: o valor obtido \approx 36{,}0\\ \mathrm{kPa} coincide com o resultado informado \,36{,}1\\ \mathrm{kPa} (pequena diferença de arredondamento). Isso confirma que a suposição de escoamento ideal (sem perdas) e uso direto de Bernoulli foi o procedimento esperado pelo enunciado.

Resposta

\,36{,}1\\ \mathrm{kPa}

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