Determine o volume de um tronco de pirâmide regular, sabendo que as bases são quadrados de diagonais 4 \sqrt{2} \mathrm{~cm} e 8 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, respectivamente, e que a aresta lateral forma com a diagonal da base maior um ângulo de 45^{\circ}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: as bases são quadrados com diagonais \,4\sqrt{2}\,\text{cm} (base menor) e \,8\sqrt{2}\,\text{cm} (base maior).
  • Informação extra: uma aresta lateral forma com a diagonal da base maior um ângulo de \,45^\circ.
  • Pedido: determinar o volume do tronco da pirâmide regular.
Vou usar todas essas informações sem assumir nada além do que está escrito.

Passo 2

Converter diagonais em lados e áreas das bases (explicando a fórmula do quadrado).
  • Para um quadrado, a diagonal \,d e o lado \,a estão relacionados por \,d=a\sqrt{2} porque o triângulo formado por dois lados adjacentes e a diagonal é um triângulo retângulo isósceles. Assim
a=\frac{d}{\sqrt{2}}.
  • Aplicando aos dados: lado da base menor
a_1=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4\\ \text{cm},
lado da base maior
a_2=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8\\ \text{cm}.
  • Áreas das bases (área do quadrado é a^2):
A_1=a_1^2=4^2=16\\ \text{cm}^2,
A_2=a_2^2=8^2=64\\ \text{cm}^2.

Passo 3

Entender a geometria lateral e calcular a projeção horizontal da aresta lateral.
  • Num tronco de pirâmide regular as duas bases são quadrados semelhantes e concentricos; o centro comum chamemos de O. A distância do centro O até um vértice da base é a metade da diagonal do quadrado. Chamo essas distâncias de r_1 (base menor) e r_2 (base maior). São
r_1=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\\ \text{cm},
r_2=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\\ \text{cm}.
  • A aresta lateral liga um vértice da base maior ao vértice correspondente da base menor; sua projeção horizontal no plano da base tem comprimento igual à diferença r_2-r_1 (pois os vértices estão sobre a mesma reta que vai do centro ao vértice). Logo a projeção horizontal vale
p=r_2-r_1=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\\ \text{cm}.

Passo 4

Relacionar o ângulo dado com a altura do tronco (explicando a trigonometria usada).
  • Considere a aresta lateral e sua projeção horizontal: formam um triângulo retângulo cujo cateto horizontal é p e o cateto vertical é a altura do tronco que vamos chamar de h. O ângulo entre a aresta lateral e a diagonal da base (que está no plano da base e é colinear com a projeção) é exatamente o ângulo entre a aresta e sua projeção.
  • Para um triângulo retângulo, a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente é a tangente: \tan\theta=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\dfrac{h}{p}. Aqui \theta=45^\circ e \tan45^\circ=1. Portanto
1=\tan45^\circ=\frac{h}{p}\quad\Rightarrow\quad h=p.
  • Logo, com p=2\sqrt{2}\\ \text{cm},
h=2\sqrt{2}\\ \text{cm}.

Passo 5

Usar a fórmula do volume do tronco de pirâmide e substituir os valores (explicando a fórmula).
  • A fórmula do volume de um tronco de pirâmide por bases de áreas \,A_1 e \,A_2 e altura \,h é
V=\frac{h}{3}\bigl(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\bigr).
Essa fórmula vem da diferença entre volumes de pirâmides semelhantes (ou pode ser memorizada como padrão para troncos). Aqui A_1=16, A_2=64 e h=2\sqrt{2}. Primeiro calcule \sqrt{A_1A_2}:
\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{16\cdot64}=\sqrt{1024}=32.
  • Soma interna:
A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}=16+64+32=112.
  • Agora o volume:
V=\frac{h}{3}\cdot 112=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 112.

Passo 6

Fazer a multiplicação e simplificar a resposta final.
  • Multiplicando:
V=\frac{2\sqrt{2}\cdot 112}{3}=\frac{224\sqrt{2}}{3}\\ \text{cm}^3.
  • Podemos também escrever 224=32\cdot7, então V=\dfrac{224\sqrt{2}}{3}\\ \text{cm}^3 é a forma final exata.

Resposta

\displaystyle \frac{224\sqrt{2}}{3}\\ \text{cm}^3

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