Determine o volume de um tronco de pirâmide regular, sabendo que as bases são quadrados de diagonais
e
, respectivamente, e que a aresta lateral forma com a diagonal da base maior um ângulo de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dados: as bases são quadrados com diagonais
(base menor) e (base maior). - Informação extra: uma aresta lateral forma com a diagonal da base maior um ângulo de
. - Pedido: determinar o volume do tronco da pirâmide regular.
Vou usar todas essas informações sem assumir nada além do que está escrito.
Passo 2
Converter diagonais em lados e áreas das bases (explicando a fórmula do quadrado).
- Para um quadrado, a diagonal
e o lado estão relacionados por porque o triângulo formado por dois lados adjacentes e a diagonal é um triângulo retângulo isósceles. Assim
- Aplicando aos dados: lado da base menor
lado da base maior
- Áreas das bases (área do quadrado é
):
Passo 3
Entender a geometria lateral e calcular a projeção horizontal da aresta lateral.
- Num tronco de pirâmide regular as duas bases são quadrados semelhantes e concentricos; o centro comum chamemos de
. A distância do centro até um vértice da base é a metade da diagonal do quadrado. Chamo essas distâncias de (base menor) e (base maior). São
- A aresta lateral liga um vértice da base maior ao vértice correspondente da base menor; sua projeção horizontal no plano da base tem comprimento igual à diferença
(pois os vértices estão sobre a mesma reta que vai do centro ao vértice). Logo a projeção horizontal vale
Passo 4
Relacionar o ângulo dado com a altura do tronco (explicando a trigonometria usada).
- Considere a aresta lateral e sua projeção horizontal: formam um triângulo retângulo cujo cateto horizontal é
e o cateto vertical é a altura do tronco que vamos chamar de . O ângulo entre a aresta lateral e a diagonal da base (que está no plano da base e é colinear com a projeção) é exatamente o ângulo entre a aresta e sua projeção. - Para um triângulo retângulo, a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente é a tangente:
. Aqui e . Portanto
- Logo, com
,
Passo 5
Usar a fórmula do volume do tronco de pirâmide e substituir os valores (explicando a fórmula).
- A fórmula do volume de um tronco de pirâmide por bases de áreas
e e altura é
Essa fórmula vem da diferença entre volumes de pirâmides semelhantes (ou pode ser memorizada como padrão para troncos). Aqui
,
e
. Primeiro calcule
:
- Soma interna:
- Agora o volume:
Passo 6
Fazer a multiplicação e simplificar a resposta final.
- Multiplicando:
- Podemos também escrever
, então é a forma final exata.