Dados os lados a e b das bases quadradas de um tronco de pirâmide, determine a altura do tronco, considerado regular, de modo que a área lateral seja igual à soma das áreas das bases.

Passo 1

O enunciado pede: dado os lados a e b das bases quadradas de um tronco de pirâmide regular, determinar a altura h do tronco de modo que a área lateral seja igual à soma das áreas das bases.\n
Informações dadas:
\;a = lado de uma base quadrada (positiva),\n
\;b = lado da outra base quadrada (positiva),\n
o tronco é regular (as bases são quadrados concêntricos e as quatro faces laterais são congruentes),\n
condição exigida: área lateral = soma das áreas das bases.

Passo 2

Vamos entender e escrever a fórmula da área lateral do tronco. Cada face lateral é um trapézio isósceles cuja altura (medida ao longo da face) é a mesma para as quatro faces: chamaremos essa altura de s (a “altura inclinada” ou slant height). A área de um trapézio é a média das bases vezes a altura. Assim, a área de uma face lateral é
\frac{a+b}{2}\cdot s,
porque as bases do trapézio são os lados a e b. Como existem quatro faces iguais, a área lateral total A_L é quatro vezes isso:
A_L = 4\cdot\frac{a+b}{2}\cdot s = 2(a+b)s.
Explicação em palavras: somando as quatro áreas dos trapézios obtemos metade da soma dos perímetros vezes a altura inclinada; para quadrados isso simplifica para 2(a+b)s.

Passo 3

A soma das áreas das duas bases é simples: cada base é um quadrado, então
A_{\text{bases}} = a^2 + b^2.

Passo 4

Impondo a condição do enunciado (área lateral igual à soma das bases) obtemos a equação
2(a+b)s = a^2 + b^2.
Isolando s vem
s = \frac{a^2 + b^2}{2(a+b)}.

Passo 5

Agora relacionamos s com a altura vertical h. Considere um corte que passe pelo centro e seja perpendicular a uma aresta das bases: nesse corte aparece um triângulo retângulo em que a hipotenusa é s, a altura vertical é h e a diferença horizontal entre as meias-arestas é \dfrac{a-b}{2}. Portanto vale o Teorema de Pitágoras:
s^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2.
Isto é, a parte horizontal do deslocamento entre as bases, medida de centro a lado, é \dfrac{a-b}{2} e completa o cateto do triângulo.

Passo 6

Substituímos o valor de s encontrado no Passo 4 na equação do Passo 5 e resolvemos para h. Primeiro compute s^2:
s^2 = \left(\frac{a^2+b^2}{2(a+b)}\right)^2 = \frac{(a^2+b^2)^2}{4(a+b)^2}.
Agora aplicamos
h^2 = s^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \frac{(a^2+b^2)^2}{4(a+b)^2} - \frac{(a-b)^2}{4}.
Colocando em denominador comum 4(a+b)^2:
h^2 = \frac{(a^2+b^2)^2 - (a-b)^2(a+b)^2}{4(a+b)^2}.
Note que (a-b)^2(a+b)^2 = (a^2-b^2)^2. Assim o numerador fica
(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2.
Use a identidade (X+Y)^2-(X-Y)^2 = 4XY com X=a^2 e Y=b^2. Logo o numerador vale 4a^2b^2. Portanto
h^2 = \frac{4a^2b^2}{4(a+b)^2} = \frac{a^2b^2}{(a+b)^2}.
Tomando raiz positiva (altura é positiva),
h = \frac{ab}{a+b}.

Passo 7

Comentário final e incentivo: chegamos a uma expressão simples e elegante para a altura. Se quiser, dá para checar casos extremos: se a=b então h=\dfrac{a^2}{2a}=\dfrac{a}{2}, que faz sentido (quando as bases são iguais o tronco é um prisma degenerado e a “altura inclinada” coincide com a face). Vai firme na prova — essa é uma boa rotina de manipular fórmulas e aplicar Pitágoras.

Resposta

h=\dfrac{ab}{a+b}

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