Dados os lados
e
das bases quadradas de um tronco de pirâmide, determine a altura do tronco, considerado regular, de modo que a área lateral seja igual à soma das áreas das bases.
Passo 1
O enunciado pede: dado os lados
e
das bases quadradas de um tronco de pirâmide regular, determinar a altura
do tronco de modo que a área lateral seja igual à soma das áreas das bases.\n
Informações dadas:
= lado de uma base quadrada (positiva),\n
= lado da outra base quadrada (positiva),\n
o tronco é regular (as bases são quadrados concêntricos e as quatro faces laterais são congruentes),\n
condição exigida: área lateral soma das áreas das bases.
Informações dadas:
o tronco é regular (as bases são quadrados concêntricos e as quatro faces laterais são congruentes),\n
condição exigida: área lateral
Passo 2
Vamos entender e escrever a fórmula da área lateral do tronco. Cada face lateral é um trapézio isósceles cuja altura (medida ao longo da face) é a mesma para as quatro faces: chamaremos essa altura de
(a “altura inclinada” ou slant height). A área de um trapézio é a média das bases vezes a altura. Assim, a área de uma face lateral é
porque as bases do trapézio são os lados
e
. Como existem quatro faces iguais, a área lateral total
é quatro vezes isso:
Explicação em palavras: somando as quatro áreas dos trapézios obtemos metade da soma dos perímetros vezes a altura inclinada; para quadrados isso simplifica para
.
Passo 3
A soma das áreas das duas bases é simples: cada base é um quadrado, então
Passo 4
Impondo a condição do enunciado (área lateral igual à soma das bases) obtemos a equação
Isolando
vem
Passo 5
Agora relacionamos
com a altura vertical
. Considere um corte que passe pelo centro e seja perpendicular a uma aresta das bases: nesse corte aparece um triângulo retângulo em que a hipotenusa é
, a altura vertical é
e a diferença horizontal entre as meias-arestas é
. Portanto vale o Teorema de Pitágoras:
Isto é, a parte horizontal do deslocamento entre as bases, medida de centro a lado, é
e completa o cateto do triângulo.
Passo 6
Substituímos o valor de
encontrado no Passo 4 na equação do Passo 5 e resolvemos para
. Primeiro compute
:
Agora aplicamos
Colocando em denominador comum
:
Note que
. Assim o numerador fica
Use a identidade
com
e
. Logo o numerador vale
. Portanto
Tomando raiz positiva (altura é positiva),
Passo 7
Comentário final e incentivo: chegamos a uma expressão simples e elegante para a altura. Se quiser, dá para checar casos extremos: se
então
, que faz sentido (quando as bases são iguais o tronco é um prisma degenerado e a “altura inclinada” coincide com a face). Vai firme na prova — essa é uma boa rotina de manipular fórmulas e aplicar Pitágoras.