Determine a medida da altura de um tronco de pirâmide regular, sabendo que seu volume é 342 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{3}, sendo as bases hexágonos cujos lados medem 4 cm e 6 cm , respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Volume do tronco de pirâmide regular: V = 342\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^3.
  • As bases são hexágonos regulares com lados 4\\ \mathrm{cm} e 6\\ \mathrm{cm}, respectivamente.
  • Pergunta: determinar a medida da altura do tronco (ou seja, encontrar h em centímetros).
Informações relevantes listadas:
  • Base menor: hexágono regular de lado \,4.
  • Base maior: hexágono regular de lado \,6.
  • Fórmula do volume de um tronco de pirâmide (que vamos usar): envolve as áreas das bases e a altura h.

Passo 2

Vamos calcular as áreas das bases (hexágonos regulares). Lembrete didático: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado s. A área de um triângulo equilátero de lado s é
\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^2.
Portanto, a área de um hexágono regular de lado s é
A_{\text{hex}} = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,s^2.
Aqui cada símbolo significa:
  • s: comprimento do lado do hexágono;
  • A_{\text{hex}}: área do hexágono.

Passo 3

Aplicando essa fórmula às duas bases:
  • Para a base menor de lado \,4:
A_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 16 = 24\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.
  • Para a base maior de lado \,6:
A_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 36 = 54\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.
Expliquei passo a passo: calculei s^2 e multipliquei pelo fator \tfrac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Agora a fórmula do volume de um tronco de pirâmide (tronco de uma pirâmide qualquer) é:
V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1A_2}\right),
onde:
  • V é o volume dado;
  • h é a altura do tronco (o que queremos achar);
  • A_1 e A_2 são as áreas das bases calculadas acima;
  • \sqrt{A_1A_2} é a raiz quadrada do produto das áreas das bases.
Vamos substituir A_1 = 24\sqrt{3} e A_2 = 54\sqrt{3} na expressão \sqrt{A_1A_2}:
\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{(24\sqrt{3})(54\sqrt{3})}=\sqrt{24\cdot54\cdot(\sqrt{3})^2}.
Como (\sqrt{3})^2=3, temos
\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{24\cdot54\cdot 3}.
Calculemos 24\cdot54: 24\cdot54=1296. Então
24\cdot54\cdot 3 = 1296\cdot 3 = 3888.
Agora fatorando 3888 temos 3888 = 2^4\cdot 3^5. A raiz quadrada é
\sqrt{3888} = 2^2\cdot 3^{5/2} = 4\cdot 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3}.
Logo
\sqrt{A_1A_2}=36\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 5

Substituindo A_1, A_2 e \sqrt{A_1A_2} na fórmula do volume:
V = \frac{h}{3}\left(24\sqrt{3} + 54\sqrt{3} + 36\sqrt{3}\right).
Somando os coeficientes:
24+54+36 = 114,
portanto
V = \frac{h}{3}\cdot 114\sqrt{3} = 38h\sqrt{3}.
Expliquei: dividi 114 por 3 para obter 38.

Passo 6

Como o enunciado dá V = 342\sqrt{3}, igualamos:
38h\sqrt{3} = 342\sqrt{3}.
Podemos cancelar \sqrt{3} dos dois lados (já que \sqrt{3}\neq 0), obtendo
38h = 342.
Então
h = \frac{342}{38}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 2:
h = \frac{171}{19}.
E observando que 19\cdot 9 = 171, concluímos
h = 9\\ \mathrm{cm}.

Resposta

9\\ \mathrm{cm}

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