Determine a medida da altura de um tronco de pirâmide regular, sabendo que seu volume é
, sendo as bases hexágonos cujos lados medem 4 cm e 6 cm , respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Volume do tronco de pirâmide regular:
. - As bases são hexágonos regulares com lados
e , respectivamente. - Pergunta: determinar a medida da altura do tronco (ou seja, encontrar
em centímetros).
Informações relevantes listadas:
- Base menor: hexágono regular de lado
. - Base maior: hexágono regular de lado
. - Fórmula do volume de um tronco de pirâmide (que vamos usar): envolve as áreas das bases e a altura
.
Passo 2
Vamos calcular as áreas das bases (hexágonos regulares). Lembrete didático: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado
. A área de um triângulo equilátero de lado
é
Portanto, a área de um hexágono regular de lado
é
Aqui cada símbolo significa:
-
: comprimento do lado do hexágono; -
: área do hexágono.
Passo 3
Aplicando essa fórmula às duas bases:
- Para a base menor de lado
:
- Para a base maior de lado
:
Expliquei passo a passo: calculei
e multipliquei pelo fator
.
Passo 4
Agora a fórmula do volume de um tronco de pirâmide (tronco de uma pirâmide qualquer) é:
onde:
-
é o volume dado; -
é a altura do tronco (o que queremos achar); -
e são as áreas das bases calculadas acima; -
é a raiz quadrada do produto das áreas das bases.
Vamos substituir
e
na expressão
:
Como
, temos
Calculemos
:
. Então
Agora fatorando
temos
. A raiz quadrada é
Logo
Passo 5
Substituindo
,
e
na fórmula do volume:
Somando os coeficientes:
portanto
Expliquei: dividi
por
para obter
.
Passo 6
Como o enunciado dá
, igualamos:
Podemos cancelar
dos dois lados (já que
), obtendo
Então
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
E observando que
, concluímos