Determine os volumes dos sólidos abaixo .
Limitado pela superfície z=1+e^{x} \sin y e pelos planos x= \pm 1, \quad y=0, \quad y=\pi, \quad z= 0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície z=1+e^{x}\sin y e pelos planos x=\pm 1, y=0, y=\pi e z=0.
Informações dadas:
  • Superfície superior: z=1+e^{x}\sin y.
  • Planos que delimitam as projeções em x e y: x=-1, x=1, y=0, y=\pi.
  • Plano inferior: z=0.
Pergunta que precisamos responder: qual é o volume do sólido assim delimitado?

Passo 2

Vamos entender a posição relativa da superfície em relação ao plano z=0. Note que, para y em [0,\pi], temos \sin y\ge 0. Além disso e^{x}>0 para todo x. Logo
1+e^{x}\sin y \ge 1 > 0
para todos x\in[-1,1] e y\in[0,\pi]. Portanto a superfície está sempre acima do plano z=0 na região dada, e o sólido é simplesmente a região abaixo de z=1+e^{x}\sin y e acima de z=0 sobre o retângulo D=\{(x,y)\mid -1\le x\le1,\\\ 0\le y\le\pi\}.
Aula rápida (intuição): o volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre um domínio D no plano xy é dado pela integral dupla
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA,
ou seja, somamos “alturas” f(x,y) multiplicadas por pequenas áreas dA. Aqui f(x,y)=1+e^{x}\sin y.

Passo 3

Montamos a integral de volume usando a projeção retangular D:
V=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=0}^{\pi} \bigl(1+e^{x}\sin y\bigr)\,dy\,dx.
Explicação do método: como D é um retângulo, podemos usar a fórmula de Fubini e integrar primeiro em y e depois em x. Além disso a integranda é soma de funções, então a integral se separa em soma de integrais.

Passo 4

Calculemos a integral interna em y:
\int_{y=0}^{\pi} \bigl(1+e^{x}\sin y\bigr)\,dy =\int_{0}^{\pi} 1\,dy + \int_{0}^{\pi} e^{x}\sin y\,dy.
Cada parcela:
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi} 1\,dy = \pi, porque estamos somando a função constante 1 no intervalo de comprimento \pi.
  • Como e^{x} é constante em relação a y, \displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x}\sin y\,dy = e^{x}\int_{0}^{\pi}\sin y\,dy.
    E \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin y\,dy = [-\cos y]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
    Portanto a integral interna vale
\pi + e^{x}\cdot 2 = \pi + 2e^{x}.

Passo 5

Agora integramos em x:
V=\int_{x=-1}^{1} \bigl(\pi + 2e^{x}\bigr)\,dx = \int_{-1}^{1}\pi\,dx + 2\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx.
Calcule cada termo:
  • \displaystyle \int_{-1}^{1}\pi\,dx = \pi\cdot(1-(-1)) = 2\pi.
  • \displaystyle \int_{-1}^{1} e^{x}\,dx = [e^{x}]_{-1}^{1} = e^{1}-e^{-1} = e - e^{-1}.
    Multiplicando por 2 obtemos 2\bigl(e-e^{-1}\bigr).
Somando os termos:
V = 2\pi + 2\bigl(e - e^{-1}\bigr).

Resposta

\;2\pi + 2\bigl(e - e^{-1}\bigr)

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