Determine os volumes dos sólidos abaixo .
Limitado pela superfície
e pelos planos
0.
Limitado pela superfície
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície
e pelos planos
,
,
e
.
Informações dadas:
- Superfície superior:
. - Planos que delimitam as projeções em
e : , , , . - Plano inferior:
.
Pergunta que precisamos responder: qual é o volume do sólido assim delimitado?
Passo 2
Vamos entender a posição relativa da superfície em relação ao plano
. Note que, para
em
, temos
. Além disso
para todo
. Logo
para todos
e
. Portanto a superfície está sempre acima do plano
na região dada, e o sólido é simplesmente a região abaixo de
e acima de
sobre o retângulo
.
Aula rápida (intuição): o volume sob uma superfície
sobre um domínio
no plano
é dado pela integral dupla
ou seja, somamos “alturas”
multiplicadas por pequenas áreas
. Aqui
.
Passo 3
Montamos a integral de volume usando a projeção retangular
:
Explicação do método: como
é um retângulo, podemos usar a fórmula de Fubini e integrar primeiro em
e depois em
. Além disso a integranda é soma de funções, então a integral se separa em soma de integrais.
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Cada parcela:
-
, porque estamos somando a função constante no intervalo de comprimento . - Como
é constante em relação a , .
E
Portanto a integral interna vale
Passo 5
Agora integramos em
:
Calcule cada termo:
-
-
Multiplicando porobtemos .
Somando os termos: